Sistema lineare con parametro

[battle1]

Allora ragazzi..questo è l'esercizio.
\( \begin{cases} 2x+ky-z=1 \\ x-2y+z=0 \\ x-y-z=0 \end{cases} \)
ora posto il mio svolgimento. Se potete,cortesemente, correggetemi ed indicatemi dove sbaglio..questi sistemi ancora mi causano un pochino di problemi.
allora
il determinante lo calcolo così \( \begin{pmatrix} 2 & k & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & k \\ 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \) e mi esce k=2k+5 quindi per K diverso da - \( {\frac{5}{2}} \) il rango della matrice è 3 (giusto?)
le soluzioni sono Dx= \( {\frac{3}{2k+5}} \) Dy= \( {\frac{2}{2k+5}} \) Dz= - \( {\frac{3}{2k+5}} \)

mentre per K uguale a - \( {\frac{5}{2}} \) devo vedere il rango della matrice incompleta e completa.

matrice incompleta \( \begin{pmatrix} 2 & -5/2 & -1\\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \) prendo una sottomatrice 2x2 e vedo se il determinante è diverso da 0....quindi \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
eseguo i calcoli: 2-1=1 essendo diverso da zero il rango è 2 Giusto?
matrice completa (verifico se di rango 3 omettendo la colonna del parametro)
e viene \( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)
svolgendo i calcoli il determinante risulta uguale a 0 quindi il rango è inferiore a 3.
prendo una sottomatrice 2x2 e verico il rango..
\( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) e viene 2-(-1)=2+1= 3 quindi il rango della matrice completa è 2
i due ranghi coincidono quindi ho un sistema di equazioni lineari che ammette soluzioni (una o infinite).

E' giusto questo procedimento ho non ho capito come svolgerlo?

Grazie a tutti per le risposte...

[garnak.olegovitc1]

"battle":Allora ragazzi..questo è l'esercizio.
\( \begin{cases} 2x+ky-z=1 \\ x-2y+z=0 \\ x-y-z=0 \end{cases} \)
ora posto il mio svolgimento. Se potete,cortesemente, correggetemi ed indicatemi dove sbaglio..questi sistemi ancora mi causano un pochino di problemi.
allora
il determinante lo calcolo così \( \begin{pmatrix} 2 & k & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & k \\ 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \) e mi esce k=2k+5

non capisco perchè scrivi due matrici e non capisco come scrivi il determinante

"battle": quindi per K diverso da - \( {\frac{5}{2}} \) il rango della matrice è 3 (giusto?)

si ok, ma il determinante è \(2k+5\) se scrivi la matrice incompleta in modo corretto, cioè \( 1\neq a_{33}=-1\)..

"battle":
mentre per K uguale a - \( {\frac{5}{2}} \) devo vedere il rango della matrice incompleta e completa.
matrice incompleta \( \begin{pmatrix} 2 & -5/2 & -1\\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \) prendo una sottomatrice 2x2 e vedo se il determinante è diverso da 0....quindi \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
eseguo i calcoli: 2-1=1 essendo diverso da zero il rango è 2 Giusto?

si ma \(1 \neq \det\left(\begin{Vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{Vmatrix}\right)=2-(-1)=3 \)

"battle":
matrice completa (verifico se di rango 3 omettendo la colonna del parametro)
e viene \( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)
svolgendo i calcoli il determinante risulta uguale a 0 quindi il rango è inferiore a 3.
prendo una sottomatrice 2x2 e verico il rango..
\( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) e viene 2-(-1)=2+1= 3 quindi il rango della matrice completa è 2
i due ranghi coincidono quindi ho un sistema di equazioni lineari che ammette soluzioni (una o infinite).
E' giusto questo procedimento ho non ho capito come svolgerlo?
Grazie a tutti per le risposte...

se il rango della matrice completa è uguale a quello della matrice incompleta per \( k=\frac{-5}{2}\) allora il sistema per Rouchè-Capelli è compatibile, il rango della matrice incompleta è \(2 \), come fai ad avere $$\det\left( \begin{Vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{Vmatrix} \right)=0$$ svolgendo i calcoli si ha palesemente $$\det\left( \begin{Vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{Vmatrix} \right)=\det\left( \begin{Vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{Vmatrix} \right)=-1-1=-2 \neq 0$$ a te le conclusioni...

[battle1]

Intanto grazie per la risposta....
allora... vediamo le due matrici derivano dal fatto che ho poca dimestichezza con l'inserimento delle formule
il determinante era D=2k+5 ( erroraccio scusa... )
non capisco quel 1≠a33=−1..
per il rango della matrice completa , svolgendo i calcoli su foglio di carta , ho scambiato un segnetto per un meno ed ho toppato. La matrice completa a rango 3 quindi i due sistemi sono incompatibili quindi il sistema è impossibile..

a parte questa miriade di errori.... mi sto avvicinando alla risoluzione dei sistemi? o meglio il ragionamento è esatto?

grazie ancora...

[garnak.olegovitc1]

"battle":
non capisco quel 1≠a33=−1..

avevi scritto prima la matrice incompleta come $$\begin{pmatrix} 2 & k & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & {\color{Red} 1}\end{pmatrix}$$ ho evidenziato l'elemento \( a_{33}\), spero sia chiaro adesso perchè ho scritto che \({\color{Red} 1} \neq a_{33}=-1\)

"battle":per il rango della matrice completa , svolgendo i calcoli su foglio di carta , ho scambiato un segnetto per un meno ed ho toppato. La matrice completa a rango 3 quindi i due sistemi sono incompatibili quindi il sistema è impossibile..

esattamete, per Rouchè-Capelli è incompatibile (o impossibile) per \(k=\frac{-5}{2}\)...

[battle1]

Si ok..ci sono arrivato con un attimo di ritardo.....ma ora ci sono arrivato....
abbi pazienza..........ma nun c'ha fazz chiù oggi....so cotto...

grazie per il tuo aiuto...gentilissimo...