Sistema lineare (60909)

[sirenetta]

Il quesito è:

Dato il seguente sistema di equazioni lineari:

x - 2y - 5z = -2
x + ky - 2z = 1
kx + 2y - z = 2

indicare per quali valori del parametro reale k il sistema è compatibile, e per quali incompatibile. In tal caso determinare se la soluzione è unica o se ci sono infinite soluzioni.

Che vuol dire?Come si svolge? Grazie in anticipo!

Aggiunto 19 ore 3 minuti più tardi:

GRAZIE MILLE!!! Quindi ogni volta che ho una domanda del genere per vedere se è compatibile o no devo fare cramer e vedere le soluzioni, giusto?

[ciampax]

Un sistema lineare si dice compatibile quando ammette soluzioni (finite o infinite), mentre si dice incompatibile quando non ne ammette. Ora, le soluzioni di un sistema dipendono dai coefficienti delle equazioni e dai termini noti. Per risolvere un esercizio di questo tipo, ti conviene usare la regola di Cramer (essendo il sistema di 3 equazioni in tre incognite, per cui la matrice risulta quadrata). Abbiamo allora, posto:

[math]A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -5 \\ 1 & k & -2\\ k & 2 & -1
\end{array}\right),\qquad b=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 2\end{array}\right),\qquad X=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right)[/math]

che il sistema si può riscrivere come

[math]AX=b[/math]

. Usiamo ora la regola di Cramer: abbiamo

[math]\Delta=\det A=(-k+4k-10)-(-5k^2+2-4)=5k^2+3k-8=(5k+8 )(k-1)[/math]

per cui

[math]\Delta\neq 0[/math]

se e solo se

[math]k\neq-\frac{8}{5},\ k\neq 1[/math]

. In questo caso il sistema risulta compatibile ed ammette l'unica soluzione che si calcola al modo seguente:

[math]\Delta_x=\det\left(\begin{array}{ccc}
-2 & -2 & -5 \\ 1 & k & -2\\ 2 & 2 & -1
\end{array}\right)=(2k+8-10)-(-10k+2+8 )=12k-12=12(k-1)[/math]

[math]\Delta_y=\det\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -5 \\ 1 & 1 & -2\\ k & 2 & -1
\end{array}\right)=(-1+4k-10)-(-5k+2-4)=9k-9=9(k-1)[/math]

[math]\Delta_z=\det\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2 \\ 1 & k & 1\\ k & 2 & 2
\end{array}\right)=(2k-2k-4)-(-2k^2-4+2)=2k^2-2=2(k-1)(k+1)[/math]

[math]x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{12(k-1)}{(5k+8 )(k-1)}=\frac{12}{5k+8}[/math]

[math]y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{9(k-1)}{(5k+8 )(k-1)}=\frac{9}{5k+8}[/math]

[math]z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{2(k-1)(k+1)}{(5k+8 )(k-1)}=\frac{2(k+1)}{5k+8}[/math]

Vediamo ora cosa accade per i due valori di

[math]k[/math]

che abbiamo escluso prima. Se

[math]k=-8/5[/math]

il sistema diventa

[math]\left\{\begin{array}{l}
x-2y-5z=-2\\ 5x-8y-10z=5\\ -8x+10y-5z=10
\end{array}\right.[/math]

Moltiplicando la prima equazione per -5 e sommandola alla seconda e moltiplicando sempre la prima equazione per 8 e sommandola alla terza si ha

[math]\left\{\begin{array}{l}
x-2y-5z=-2\\ 2y+15z=15\\ -6y-45z=36
\end{array}\right.[/math]

da cui moltiplicando la seconda per 3 e sommandola all'ultima si trova la condizione incompatibile

[math]0=81[/math]

e quindi il sistema risulta incompatibile per

[math]k=-8/5[/math]

Se invece

[math]k=1[/math]

il sistema diventa

[math]\left\{\begin{array}{l}
x-2y-5z=-2\\ x+y-2z=1\\ x+2y-z=2
\end{array}\right.[/math]

in cui, sottraendo la prima sia dalle seconda che dalla terza equazione, si ha

[math]\left\{\begin{array}{l}
x-2y-5z=-2\\ 3y+3z=3\\ 4y+4z=4
\end{array}\right.[/math]

Le ultime due equazioni sono uguali e corrispondono all'equazione

[math]y+z=1[/math]

la cui soluzione è

[math]y=1-z[/math]

: si ha pertanto

[math]x=2+2y+5z=2+2-2z+5z=4+3z[/math]

e quindi il isstema risulta compatibile con le infinite soluzioni

[math]x=4+3z,\qquad y=1-z,\qquad z\in\mathbb{R}[/math]

Aggiunto 2 ore 22 minuti più tardi:

Se il sistema è quadrato (n equazione e n incognite) sì. Se invece è rettangolare bisogna procedere per riduzione.