Sistema gradiente=0

[dan89-votailprof]

Cercando i punti critici di una funzione di due variabili, sono arrivato a questo sistema che non riesco proprio a risolvere >.>

$\{(3x^2y-2sqrt(2)x+2y^3-4y=0),(6y^2x-4sqrt(2)y + x^3 -4x=0):}$


Avete qualche idea? Ho provato a moltiplicare opportunamente e sommare membro a membro per cercare di ricomporre una somma di cubi ma con scarsi risultati

[orazioster]

Ho calcolato la primitiva:

$ f(x,y)=x^3y + 2y^3x -4xy -sqrt(2)x^2 -2sqrt(2)y^2 +cost.=$
$= xy(x^2 +2y^2 -4) -sqrt(2)(x^2+2y^2) +4sqrt(2) -4 sqrt(2) +cost.=$
$=(x^2 +2y^2 -4)(xy -sqrt(2)) +cost'. $

In quella forma ho:
${((\delf)/(\delx)=2x(xy-sqrt(2)) +y(x^2 +2y^2 -4)=0),((\delf)/(dely)=4y(xy-sqrt(2)) +x(x^2 +2y^2 -4)=0):}$
-per dire, l'ho trovata dalla primitiva, non
mi è venuto provando una, l'altra messa in evidenza nelle derivate.

Una soluzione è per $x=y=0$. Poi:
per$x!=0$, $(x^2+2y^2-4)=-(4y)/x(xy-sqrt(2))=>(x^2-2y^2)(xy -sqrt(2))=0$...

[dan89-votailprof]

Ahhh ecco, forse era più comodo derivare senza risolvere le parentesi della funzione primitiva, che era:

$[(2x^2+4y^2-8)(xy-sqrt(2))]$

Solo non ho capito questo passaggio:

"orazioster": Poi:
per $x!=0$, $(x^2+2y^2-4)=-(4y)/x(xy-sqrt(2))=>(x^2-2y^2)(xy -sqrt(2))=0$;

[orazioster]

Per $x!=0$, perchè, nella seconda equazione ho diviso per $x$.
Poi ho sostituito nella prima, ed ho $(x^2 -2y^2)(xy -sqrt2)=0$.
Da cui ho che:
$y=sqrt(2)/x$, oppure $(x +sqrt(2)y)(x-sqrt(2)y)=0$.
Ora che ci penso... ho poi
sostituito $y$ con $sqrt(2)/x$... ma perchè avrei dovuto?

(ho corretto il post precedente).
lasciami vedere...

..mh, in effetti... viene:
$(x,y)= (0,0), (sqrt(2),1), (-sqrt(2),-1)$ .
Bye.