Sistema equazioni differenziali non omogenee
Buongiorno e buona domenica a tutti!!
Nell'attesa della finalissima degli Europei 2012, vi chiedo l'aiuto per una tipologia di esercizio.
Si tratta dei sistemi di equazioni differenziali NON omogenee.
Vi spiego: io so risolvere bene sia le equazioni differenziali omogenee, che non omogenee, sia i sistemi di equazioni differenziali omogenee, ma non riesco a risolvere i sistemi con equazioni non omogenee.
Sappiamo che la soluzione di un sistema di questo tipo è dato dalla somma tra l'integrale generale del sistema omogeneo associato e l'integrale particolare. Il mio problema sta proprio nel ricavare il "particolare". Nel senso che, fino a che si tratta di singole equazioni, non ho alcun tipo di problema, ma quando si tratta del sistema non riesco ad andare avanti.
Consideriamo per esempio il seguente sistema di equazioni differenziali non omogenee:
$\{(y_1'=-y_1 + 2te^-t),(y_2'=5y_2 - 3y_3 + 2cost),(y_3'=-3y_2 + 5y_3):}$
dove, tra l'altro, la terza è omogenea.
Arrivo senza problemi all'integrale generale, che mi risulta essere:
$\{(y_1=c_1e^-t),(y_2=c_2e^(2t) + c_3e^(8t)),(y_3=c_2e^(2t) - c_3e^(8t)):}$
dato che gli autovalori del polinomio caratteristico del sistema sono: $\lambda_1=-1, \lambda_2=2, \lambda_3=8$
A questo punto non riesco a capire come trovare quello particolare.
Io ho ragionato così: il contributo dovuto alla presenza di termini non omogenei, deriva dalla prima e dalla seconda equazione, quindi considerandone i termini non omogenei dovrò cercare due soluzioni.
Per il termine $2te^-t$ dovrò cercare una soluzione del tipo $te^-t(At+B)$, mentre per il termine $2cost$ dovrò cercare una soluzione del tipo $Ccost + Dsint$.
Arrivato a questo punto non riesco proprio ad andare avanti, nel senso che non so proprio da dove cominciare. Guardando la soluzione non mi capacito nemmeno di come sia possibile che tutte e tre le equazioni abbiano un termine particolare, dato che $y_3'$ è omogenea.
Vi ringrazio
Nell'attesa della finalissima degli Europei 2012, vi chiedo l'aiuto per una tipologia di esercizio.
Si tratta dei sistemi di equazioni differenziali NON omogenee.
Vi spiego: io so risolvere bene sia le equazioni differenziali omogenee, che non omogenee, sia i sistemi di equazioni differenziali omogenee, ma non riesco a risolvere i sistemi con equazioni non omogenee.
Sappiamo che la soluzione di un sistema di questo tipo è dato dalla somma tra l'integrale generale del sistema omogeneo associato e l'integrale particolare. Il mio problema sta proprio nel ricavare il "particolare". Nel senso che, fino a che si tratta di singole equazioni, non ho alcun tipo di problema, ma quando si tratta del sistema non riesco ad andare avanti.
Consideriamo per esempio il seguente sistema di equazioni differenziali non omogenee:
$\{(y_1'=-y_1 + 2te^-t),(y_2'=5y_2 - 3y_3 + 2cost),(y_3'=-3y_2 + 5y_3):}$
dove, tra l'altro, la terza è omogenea.
Arrivo senza problemi all'integrale generale, che mi risulta essere:
$\{(y_1=c_1e^-t),(y_2=c_2e^(2t) + c_3e^(8t)),(y_3=c_2e^(2t) - c_3e^(8t)):}$
dato che gli autovalori del polinomio caratteristico del sistema sono: $\lambda_1=-1, \lambda_2=2, \lambda_3=8$
A questo punto non riesco a capire come trovare quello particolare.
Io ho ragionato così: il contributo dovuto alla presenza di termini non omogenei, deriva dalla prima e dalla seconda equazione, quindi considerandone i termini non omogenei dovrò cercare due soluzioni.
Per il termine $2te^-t$ dovrò cercare una soluzione del tipo $te^-t(At+B)$, mentre per il termine $2cost$ dovrò cercare una soluzione del tipo $Ccost + Dsint$.
Arrivato a questo punto non riesco proprio ad andare avanti, nel senso che non so proprio da dove cominciare. Guardando la soluzione non mi capacito nemmeno di come sia possibile che tutte e tre le equazioni abbiano un termine particolare, dato che $y_3'$ è omogenea.
Vi ringrazio
Risposte
No aspetta,
se tu hai un sistema del tipo $y'=ay$ una soluzione è data da $phi(t)=e^(lambdat)*\vec v$,
infatti $lambda e^(lambdat)*\vec v=a*(e^(lambdat)*\vec v)-> a \vec v=lambda\vec v$, ovvero se e solo se $\vec v$ è l'autovettore associato a $lambda$.
Dove sono gli autovettori ?
se tu hai un sistema del tipo $y'=ay$ una soluzione è data da $phi(t)=e^(lambdat)*\vec v$,
infatti $lambda e^(lambdat)*\vec v=a*(e^(lambdat)*\vec v)-> a \vec v=lambda\vec v$, ovvero se e solo se $\vec v$ è l'autovettore associato a $lambda$.
Dove sono gli autovettori ?
Il calcolo degli autovettori l'ho tralasciato, in ogni caso è deducibile dall'integrale generale.
Nessuno che mi possa dare un aiuto? 
Puoi applicare il noto metodo della variazione delle costanti, considerate funzioni di t almeno di classe 1.
Hai il sistema :
(1) \(\displaystyle \begin{cases} y_1=C_1e^{-t}\\y_2=C_2e^{2t}+C_3e^{8t}\\y_3=C_2e^{2t}-C_3e^{8t}\end{cases} \)
Derivando rispetto a t la prima delle (1) ottieni :
\(\displaystyle y'_1=C'_1e^{-t}-C_1e^{-t} \)
ed eguagliando al valore dato di \(\displaystyle y'_1 \) :
\(\displaystyle C'_1e^{-t}-C_1e^{-t}=-y_1+2te^{-t}=-C_1e^{-t}+2te^{-t} \)
da cui :
\(\displaystyle C_1=t^2+A \)
essendo A una costante arbitraria.
Analogamente, derivando la seconda e la terza delle (1) ed eguagliando ai valori noti di \(\displaystyle y'_2, y'_3 \),si ottiene il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}C'_2e^{2t}-C'_3e^{8t}=0\\C'_2e^{2t} +C'_3e^{8t}=2 \cos t\end{cases} \)
da cui :
\(\displaystyle \begin{cases}C'_2=e^{-2t}\cos t\\C'_3=e^{-8t}\cos t\end{cases} \)
Integrando , risulta :
\(\displaystyle \begin{cases}C_2=\frac{e^{-2t}}{5}(\sin t-2\cos t)+B\\C_3=\frac{e^{-8t}}{65}(\sin t-8\cos t)+C\end{cases} \)
dove B e C son altre due costanti arbitrarie.
Infine ,sostituendo nelle (1) i valori di \(\displaystyle C_1,C_2,C_3 \) cosi determinati , ne viene fuori la soluzione generale :
\(\displaystyle \begin{cases} y_1=Ae^{-t}+t^2e^{-t}\\ y_2=Be^{2t}+Ce^{8t}+\frac{1}{65}(14\sin t-34\cos t) \\y_3=Be^{2t}-Ce^{8t}+\frac{1}{65}(12\sin t-18\cos t) \end{cases} \)
Hai il sistema :
(1) \(\displaystyle \begin{cases} y_1=C_1e^{-t}\\y_2=C_2e^{2t}+C_3e^{8t}\\y_3=C_2e^{2t}-C_3e^{8t}\end{cases} \)
Derivando rispetto a t la prima delle (1) ottieni :
\(\displaystyle y'_1=C'_1e^{-t}-C_1e^{-t} \)
ed eguagliando al valore dato di \(\displaystyle y'_1 \) :
\(\displaystyle C'_1e^{-t}-C_1e^{-t}=-y_1+2te^{-t}=-C_1e^{-t}+2te^{-t} \)
da cui :
\(\displaystyle C_1=t^2+A \)
essendo A una costante arbitraria.
Analogamente, derivando la seconda e la terza delle (1) ed eguagliando ai valori noti di \(\displaystyle y'_2, y'_3 \),si ottiene il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}C'_2e^{2t}-C'_3e^{8t}=0\\C'_2e^{2t} +C'_3e^{8t}=2 \cos t\end{cases} \)
da cui :
\(\displaystyle \begin{cases}C'_2=e^{-2t}\cos t\\C'_3=e^{-8t}\cos t\end{cases} \)
Integrando , risulta :
\(\displaystyle \begin{cases}C_2=\frac{e^{-2t}}{5}(\sin t-2\cos t)+B\\C_3=\frac{e^{-8t}}{65}(\sin t-8\cos t)+C\end{cases} \)
dove B e C son altre due costanti arbitrarie.
Infine ,sostituendo nelle (1) i valori di \(\displaystyle C_1,C_2,C_3 \) cosi determinati , ne viene fuori la soluzione generale :
\(\displaystyle \begin{cases} y_1=Ae^{-t}+t^2e^{-t}\\ y_2=Be^{2t}+Ce^{8t}+\frac{1}{65}(14\sin t-34\cos t) \\y_3=Be^{2t}-Ce^{8t}+\frac{1}{65}(12\sin t-18\cos t) \end{cases} \)
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