Sistema equazioni differenziali
ho questo sistema:
$ x'' = (3x^2(x^3+y)) / (1+(x^3+y)^4)
$ y'' = (x^3+y) / (1+(x^3+y)^4)
la consegna chiede di verificare che il campo $((3x^2(x^3+y)) / (1+(x^3+y)^4) , (x^3+y) / (1+(x^3+y)^4) )$ è conservativo, di trovare un potenziale, di trovare un integrale primo del sistema (e fin qui nessun problema), e infine di provare che un problema di cauchy per quel sistema ha soluzione massimale definita su tutto R, sfruttando il terzo punto (quello relativo all'integrale primo).
io arrivo a dimostrare che le derivate x' e y' sono limitate, e quindi x e y sono funzioni lipschitziane. poi come dovrei proseguire? dalla soluzione mi pare di aver capito che x(t) e y(t) dovrebbero tendere a infinito, ma non capisco il perchè.
grazie a chi mi aiuterà..
io ho provato a ricondurmi a un sistema del primo ordine, definendo $z'_1 = x'', z'_2 = y'' $ e dunque ottengo:
$x' = z_1
$y' = z_2
$z_1' = (3x^2(x^3+y)) / (1+(x^3+y)^4)
$z_2' = (x^3+y) / (1+(x^3+y)^4)
ho pensato di applicare il teorema di esistenza globale, ma non so come fare, perchè se x' e y' sono limitate allora lo sono pure $z_1$ e $z_2$, e la funzione $f(x,y,z_1,z_2)$ non sarebbe definita in tutto $RR^4$. cosa sbaglio?
$ x'' = (3x^2(x^3+y)) / (1+(x^3+y)^4)
$ y'' = (x^3+y) / (1+(x^3+y)^4)
la consegna chiede di verificare che il campo $((3x^2(x^3+y)) / (1+(x^3+y)^4) , (x^3+y) / (1+(x^3+y)^4) )$ è conservativo, di trovare un potenziale, di trovare un integrale primo del sistema (e fin qui nessun problema), e infine di provare che un problema di cauchy per quel sistema ha soluzione massimale definita su tutto R, sfruttando il terzo punto (quello relativo all'integrale primo).
io arrivo a dimostrare che le derivate x' e y' sono limitate, e quindi x e y sono funzioni lipschitziane. poi come dovrei proseguire? dalla soluzione mi pare di aver capito che x(t) e y(t) dovrebbero tendere a infinito, ma non capisco il perchè.
grazie a chi mi aiuterà..
io ho provato a ricondurmi a un sistema del primo ordine, definendo $z'_1 = x'', z'_2 = y'' $ e dunque ottengo:
$x' = z_1
$y' = z_2
$z_1' = (3x^2(x^3+y)) / (1+(x^3+y)^4)
$z_2' = (x^3+y) / (1+(x^3+y)^4)
ho pensato di applicare il teorema di esistenza globale, ma non so come fare, perchè se x' e y' sono limitate allora lo sono pure $z_1$ e $z_2$, e la funzione $f(x,y,z_1,z_2)$ non sarebbe definita in tutto $RR^4$. cosa sbaglio?
Risposte
risollevo il thread
Hai già visto che le derivate sono limitate.
Il secondo membro dell'equazione differenziale è definito su tutto $\mathbb{R}^2$ (oppure su $\mathbb{R}^4$ se lo vedi come sistema del primo ordine).
Vediamo le soluzioni in avanti nel tempo per un problema di Cauchy con dato al tempo $0$.
Se $[0,T)$ è l'intervallo massimale di definizione in avanti, dovresti necessariamente avere che la soluzione diverge in norma quando $t\to T^-$, cosa impossibile se le derivate sono limitate.
Stesso ragionamento puoi fare all'indietro.
Il secondo membro dell'equazione differenziale è definito su tutto $\mathbb{R}^2$ (oppure su $\mathbb{R}^4$ se lo vedi come sistema del primo ordine).
Vediamo le soluzioni in avanti nel tempo per un problema di Cauchy con dato al tempo $0$.
Se $[0,T)$ è l'intervallo massimale di definizione in avanti, dovresti necessariamente avere che la soluzione diverge in norma quando $t\to T^-$, cosa impossibile se le derivate sono limitate.
Stesso ragionamento puoi fare all'indietro.
scusa, perchè non ci capisco più niente: io sapevo che i teoremi di esistenza e unicità si potevano usare con sistemi del primo ordine, perchè sul libro dove studio si usa questa convenzione. mi confermi che posso usarli anche per sistemi di grado superiore? (d'altra parte è pure vero che ci si può sempre ricondurre ad uno del primo ordine)
Certo, per applicare direttamente il teorema di esistenza e unicità ti riconduci a un sistema del prim'ordine.
E' chiaro però che, quando riscrivi un sistema di ordine superiore come sistema del prim'ordine, le nuove variabili non danno problemi per la verifica delle ipotesi (continuità e Lipschitzianità).
E' chiaro però che, quando riscrivi un sistema di ordine superiore come sistema del prim'ordine, le nuove variabili non danno problemi per la verifica delle ipotesi (continuità e Lipschitzianità).
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