Sistema equazioni differenziali

[Tork98]

Buonasera, ho un problema con i sistemi di equazioni differenziali. Premetto subito che il professore vuole che siano svolti con l'utilizzo delle trasformate di Laplace. Sono infatti sistemi di equazioni differenziali del primo ordine accompagnate dalle relative condizioni y(0).

Ho capito tutto il procedimento per la risoluzione dei sistemi, tuttavia ho sempre lo stesso problema: nella parte finale quando devo calcolare l'antitrasformata per giungere alla soluzione mi blocco, a meno che non si tratti di un'antitrasformata diretta. So quali sono i procedimenti, per esempio a volte devo utilizzare il metodo dei fratti (come per gli integrali razionali), però alla fine non arrivo mai ad una soluzione. Vi metto un esercizio per farvi capire meglio:

\(\begin{cases} Y1'(t)+Y1(t)+2Y2(t)=cos(t) \\ Y2'(t)-Y1(t)=1 \end{cases} \) con \(\begin{cases} Y1(0)=0 \\ Y2(0)=1 \end{cases} \)

Svolgendo i calcoli ed applicando la regola di derivazione della trasformata di Laplace giungo a
\( \begin{cases} Y1(s)[s+1] + 2Y2(s) = s/(s^2+1) \\ sY2(s)-Y11(s)=1/s + 1 \end{cases} \)

Applico Cramer per comodità e giungo dopo alcuni passaggi di MCM e calcoletti a
\( Y1(s) = [-s^3-2s^2-2s-2]/[(s)(s^2+1)(s^2+s+2)] \)

Ora da qui ho provato a fare di tutti, con il metodo dei fratti ho un sistema di 4 equazioni in 5 incognite, quindi irrisolvibile. Ho provato a scomporre e fare di tutto, ma non riesco a fare nulla. Sapete aiutarmi? Anche senza risolverlo, però facendomi capire quale procedimento devo seguire. Perché in ogni esercizio di questo tipo giungo a questo punto con numeri diversi, ma fondamentalmente con lo stesso problema. Sono disperato, perché non capisco dove sbaglio D:

Grazie

[Studente Anonimo]

"Tork78":
... con il metodo dei fratti ho un sistema di 4 equazioni in 5 incognite ...

Veramente, visto che, nel caso generale, il grado del numeratore è 4, si ha un sistema di 5 equazioni in 5 incognite. Tuttavia, nel caso in cui si abbiano solo poli semplici:

$[Y_1(s)=(-s^3-2s^2-2s-2)/(s(s^2+1)(s^2+s+2))=A/s+B/(s+i)+C/(s-i)+D/(s+1/2+sqrt7/2i)+E/(s+1/2-sqrt7/2i)]$

si può procedere anche così:

$[A=lim_(s->0)sY_1(s)=lim_(s->0)(-s^3-2s^2-2s-2)/((s^2+1)(s^2+s+2))=-1]$

$[B=lim_(s->-i)(s+i)Y_1(s)=lim_(s->-i)(-s^3-2s^2-2s-2)/(s(s-i)(s^2+s+2))=1/4-1/4i]$

$[C=lim_(s->i)(s-i)Y_1(s)=lim_(s->i)(-s^3-2s^2-2s-2)/(s(s+i)(s^2+s+2))=1/4+1/4i]$

$[D=lim_(s->-1/2-sqrt7/2i)(s+1/2+sqrt7/2i)Y_1(s)=lim_(s->-1/2-sqrt7/2i)(-s^3-2s^2-2s-2)/(s(s^2+1)(s+1/2-sqrt7/2i))=...]$

$[E=lim_(s->-1/2+sqrt7/2i)(s+1/2-sqrt7/2i)Y_1(s)=lim_(s->-1/2+sqrt7/2i)(-s^3-2s^2-2s-2)/(s(s^2+1)(s+1/2+sqrt7/2i))=...]$

Inoltre, è possibile ridurre i calcoli ricordando che $[C=barB] ^^ [E=barD]$.

[Tork98]

Effettivamente hai ragione, non avevo scomposto il polinomio nei numeri complessi.

Ho un'altra domanda: in preda alla disperazione ho trovato un metodo che mi sembra anche abbastanza semplice per calcolare gli eventuali valori di A,B... , cioè il metodo dei residui per i poli.

Ho soltanto un dubbio: nel caso in cui al denominatore ci sia due volte lo stesso polinomio di primo grado, per esempio (s+1), non riesco a capire cosa devo fare di diverso nel secondo fattore.

Ti faccio vedere dove ho trovato questo problema.
\( \begin{cases} Y1'(x)=Y1(x)+2Y2(x)+e^-t \\ Y2'(x)=2Y1(x)+Y2(x) \end{cases} \) con con \(\begin{cases} Y1(0)=0 \\ Y2(0)=0 \end{cases} \)

Ti salto i vari passaggi e arrivo ad \( A/(s+1) + B/(s-3) +C/(s+1) \)

Con il metodo dei resti trovo A=1/2 e B=1/8

C è il parametro sbagliato, sai che cosa di diverso devo fare? C dovrebbe venire anche lui 1/8

[Studente Anonimo]

"Tork78":
... il metodo dei residui per i poli ...

Giova sottolineare che si tratta proprio del procedimento illustrato nel mio messaggio precedente. Ad ogni modo, nel caso in cui si abbia un polo di ordine 2, per esempio:

$[Y_1(s)=(P(s))/(s-1)^2=A/(s-1)^2+B/(s-1)]$

in cui $P(s)$ è un generico polinomio di primo grado, si devono determinare due costanti:

$[A=lim_(s->1)(s-1)^2Y_1(s)=...]$

$[B=lim_(s->1)(d[(s-1)^2Y_1(s)])/(ds)=...]$