Sistema dinamico (non lineare)

[ludwigZero]

Ciao a tutti.
Ho un sistema dinamico del secondo ordine, non lineare del tipo:

$\dot(\dot x) = log (x^2 + y^2) + \alpha x$

$\dot \dot y = (2x)/(x^2 +y^2) + \beta y^2 + \alpha xy$

la mia domanda è: posso 'rivederlo' come sistema dinamico del primo ordine con sostituzioni del tipo:

$\dot x = v$

$\dot y = w$

$\dot v = log (x^2 + y^2) + \alpha x$

$\dot w = (2x)/(x^2 +y^2) + \beta y^2 + \alpha xy$

in tal modo ho trovato un sistema di eq. differenziali in forma normale del primo ordine in 4 funzioni incognite invece che 2...
qui per stabilire i punti critici, mi linearizzo solo:

$\dot v = log (x^2 + y^2) + \alpha x$

$\dot w = (2x)/(x^2 +y^2) + \beta y^2 + \alpha xy$

giusto?

che fine fanno:

$\dot x = v$

$\dot y = w$

?


c'era un metodo chiamato, metodo di pichar (Non so se la pronuncia sia proprio questa...) che metteva in relazione le immagini di:

$f((x),(y),(v),(w)) = f(.....)$

con $f$ ''opportuna'', usato da Cauchy per costruire approssimazioni successive delle soluzioni dell'eq. differenziali come quelle di questo esercizio. NON so propriamente a cosa possa servire, può essermi d'aiuto nella risoluzione di qualcosa tale metodo? (molto confuso....)

[ludwigZero]

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[gugo82]

Credo tu ti riferisca al metodo delle iterate di Picard (da Charles Emile Picard, uno dei più importanti matematici francesi a cavallo tra '800 e '900), che si usa per dimostrare l'esistenza di una soluzione per i sistemi in forma normale.
Non vedo a cosa ti possa servire, però.

Il tuo sistema lo puoi riguardare come sistema del primo ordine in quattro incognite, introducendo le due variabili ausiliarie che hai individuato.
L'esistenza di soluzioni è garantita intorno ai punti \((x_0,y_0,v_0,w_0)\) dello spazio delle fasi (che è \(\Omega = (\mathbb{R}^2\setminus \{ (0,0)\})\times \mathbb{R}^2 \subset \mathbb{R}^4\)) attorno ai quali la funzione vettoriale:
\[
\mathbf{f}(x,y,v,w)=\begin{pmatrix} v \\ w \\ \log (x^2 + y^2) + \alpha x \\ \frac{2x}{x^2 +y^2} + \beta y^2 + \alpha xy \end{pmatrix}
\]
è lipschitziana rispetto alle quattro variabili, i.e. intorno ai punti \((x_0,y_0,v_0,w_0)\) per cui esistono un intorno \(I\subseteq \Omega\) ed una costante \(L=L(I)\geq 0\) tali che:
\[
|\mathbf{f}(x_1,y_1,v_1,w_1) - \mathbf{f}(x_2,y_2,v_2,w_2)| \leq L\ \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(v_1-v_2)^2+(w_1-w_2)^2}
\]
per ogni \((x_1,y_1,v_1,w_1), (x_2,y_2,v_2,w_2) \in I\).
Dato che la tua \(\mathbf{f}(x,y,v,w)\) è \(C^1(\Omega)\), la lipschitzianità locale è garantita in tutto \(\Omega\), quindi hai esistenza locale dappertutto, cioè per qualsiasi fase iniziale \((x_0,y_0,v_0,w_0)\in \Omega\).

Gli stati stazionari, i.e. le soluzioni costanti del sistema, si trovano in corrispondenza delle eventuali soluzioni dell'equazione \(\mathbf{f}(x,y,v,w) =(0,0,0,0)\), cioè:
\[
\tag{S}
\begin{cases} v=0 \\ w=0 \\ \log (x^2 + y^2) + \alpha x=0 \\ \frac{2x}{x^2 +y^2} + \beta y^2 + \alpha xy=0\; . \end{cases}
\]
L'esistenza di soluzioni di (S) dipende dai parametri \(\alpha\) e \(\beta\), ed è una questione rognosa da affrontare in generale (secondo me, poi potrebbero esserci metodi semplici per farlo).
Tuttavia, nel caso \(\beta =0\) il sistema (S) ha, per ogni \(\alpha\), le soluzioni \((x_1^*,y_1^*,v_1^*,w_1^*)=(0,-1,0,0)\) e \((x_2^*,y_2^*,v_2^*,w_2^*)=(0,1,0,0)\).

[ludwigZero]

Ho forse capito come svolgere l'intero esercizio, ma dati i due punti trovati (che non sono l'origine..) a questo punto non posso applicare questo teorema (che è nel libro di testo e suggeritoci proprio dal prof.) a cui io vorrei sapere almeno a chi è attribuito così da far ricerche più approfondite su esempi da utilizzare nei miei casi, ovvero:

Teorema.
Si suppoonga che il sistema di eq. differenziali $\dot x = X(x)$ possa ricondursi alla forma:

$\dot x = A x + G(x)$

dove:
1. $A$ è una matrice costante n x n
2. $G(0) = 0$
3. $\nabla G(0) = 0$

allora, se la matrice A ha tutti gli autovalori a parte reale negativa, l'origine è asintoticamente stabile.
se al contrario esiste almeno un autovalore positivo l'origine è instabile.


ho provato a usare tale teorema per un sistema in cui esce l'origine e vedo che funge.
ma per i punti diversi dall'origine, come si fa?

Quindi per la situazione dei parametri, per riaggiustare un pò il sistema, l'avevo pensato di porre $\alpha =0$ o $\beta=0$
scrivo un esempio su cui l'ho utilizzato per scrivere la lagrangiana.

dato il sistema:
$\dot \dot x = a x e^(-ky) + x^2$

$\dot \dot y = b y + c x y$

ponendo $a = c =0$

$L = (x^3)/3 + b (y^2)/2$

cioè ponendo 0 di fronte ai pezzi non lineari.

inoltre quest ultimo sistema non è nemmeno conservativo cioè:

$A = a x e^(-ky) + x^2$

$B = b y + c x y$

fatte le derivate in croce
$D_y A $
$D_x B$

si vede che non sono uguali. da qui che deduco che il sistema non è conservativo (coreggimi se sbaglio)

grazie.

[ludwigZero]

posso anche scrivere la soluzione a quel sistema (l'ultimo postato..)

[ludwigZero]

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