Sistema differenziale lineare omogeneo
Ciao a tutti, svolgendo un esercizio riguardo un sistema differenziale di 3 equazioni mi è sorto un dubbio.
Il sistema in questione è il seguente:
$ { ( x(t)'= x +3y),( y(t)'= 2y ),( z(t)'= y+z ):} $
La seconda equazione è indipendente, quindi da quella ho ricavato che $ y(t)= C2*e^(2t) $ e, sostituendo nella prima, si ha:
$ x(t)'=x +3C2*e^(2t) $ , che ho risolto usando il metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Una soluzione dell'omogenea è $ x=Ke^t $ e facendo variare la costante ottengo $ K=3C2*e^t +C1 $ , quindi $ x(t) = 3C2e^(2t) +C1*e^t $ , il procedimento l'ho svolto analogamente per la z ottenendo $ z(t)= C2*e^(2t) +C3*e^t $.
Complessivamente ottengo questi risultati:
$ { ( x(t)= C1*e^t +3C2*e^(2t)),( y(t)= C2*e^(2t) ),( z(t)= C2*e^(2t) +C3*e^t ):} $
I risultati sono tuttavia in contraddizione con quello che riporta il libro, mentre risolvendo il sistema usando la matrice associata ottengo lo stesso risultato del libro, che è:
$ { ( x(t)= C1*e^t +3C2*e^t*(e^t-1)),( y(t)= C2*e^(2t) ),( z(t)= C2*e^t*(e^t -1) +C3*e^t ):} $
I risultati sono molto simili a parte per quella $e^t -1$ che a me non è mai presente.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Il sistema in questione è il seguente:
$ { ( x(t)'= x +3y),( y(t)'= 2y ),( z(t)'= y+z ):} $
La seconda equazione è indipendente, quindi da quella ho ricavato che $ y(t)= C2*e^(2t) $ e, sostituendo nella prima, si ha:
$ x(t)'=x +3C2*e^(2t) $ , che ho risolto usando il metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Una soluzione dell'omogenea è $ x=Ke^t $ e facendo variare la costante ottengo $ K=3C2*e^t +C1 $ , quindi $ x(t) = 3C2e^(2t) +C1*e^t $ , il procedimento l'ho svolto analogamente per la z ottenendo $ z(t)= C2*e^(2t) +C3*e^t $.
Complessivamente ottengo questi risultati:
$ { ( x(t)= C1*e^t +3C2*e^(2t)),( y(t)= C2*e^(2t) ),( z(t)= C2*e^(2t) +C3*e^t ):} $
I risultati sono tuttavia in contraddizione con quello che riporta il libro, mentre risolvendo il sistema usando la matrice associata ottengo lo stesso risultato del libro, che è:
$ { ( x(t)= C1*e^t +3C2*e^t*(e^t-1)),( y(t)= C2*e^(2t) ),( z(t)= C2*e^t*(e^t -1) +C3*e^t ):} $
I risultati sono molto simili a parte per quella $e^t -1$ che a me non è mai presente.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Risposte
Up.
Perdonate l'insistenza ma ho l'esame fra due giorni e non capisco cosa ci sia di sbagliato nel modo in cui l'ho risolto D:
Perdonate l'insistenza ma ho l'esame fra due giorni e non capisco cosa ci sia di sbagliato nel modo in cui l'ho risolto D:
Non c'è nessuna contraddizione. Ad esempio,
$$x(t) = c_1e^t + 3c_2 e^{2t} - 3c_2 e^t = (c_1-3c_2)e^t + 3c_2e^{2t} = d_1 e^t + d_2 e^{2t}$$
cioè la soluzione è appartenente allo spazio generato dalle funzioni $e^t$ e $e^{2t}$. Non devi lasciarti ingannare dal fatto che hai una diversa scrittura delle costanti. Esse sono costanti arbitrarie: al variare delle costanti in $\mathbb{R}$ ottieni tutte le soluzioni.
$$x(t) = c_1e^t + 3c_2 e^{2t} - 3c_2 e^t = (c_1-3c_2)e^t + 3c_2e^{2t} = d_1 e^t + d_2 e^{2t}$$
cioè la soluzione è appartenente allo spazio generato dalle funzioni $e^t$ e $e^{2t}$. Non devi lasciarti ingannare dal fatto che hai una diversa scrittura delle costanti. Esse sono costanti arbitrarie: al variare delle costanti in $\mathbb{R}$ ottieni tutte le soluzioni.
Hai perfettamente ragione, mi lasciavo ingannare dal fatto che la seconda soluzione ha tre termini ma in verità appartiene comunque allo spazio generato da $ e^t , e^(2t) $.
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
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