Sistema differenziale cattivissimo

[Oiram92]

Buonasera, sto risolvendo il seguente sistema di equazioni differenziali :

\(\displaystyle \begin{cases} T(t)+2T(t-1)+H(t-1)=\delta(t) \\ T'(t)+2T'(t-1)+H'(t)=u(t) \end{cases} \)

dove \(\displaystyle T,H\in D'_+ \) sono distribuzioni temperate. Utilizzando la trasformata di Laplace e la proprietà di traslazione giungo al seguente sistema :

\(\displaystyle \begin{cases} T(s)+2\;e^{-s}\;T(s)+e^{-s}\;H(s)=1 \\ s\;T(s)+2s\;e^{-s}\;T(s)+s\;H(s)=\frac{1}{s} \end{cases} \)

risolvendolo ricavo (ad esempio) :

\(\displaystyle H(s) = \frac{1-s^2}{s^2(1-e^{-s})} = \left(\frac{1}{s^2}-1\right)\; \frac{1}{1-e^{-s}} \)

che non so calcolare (e nemmeno Mathematica). Allora ho pensato di fare qualche passo indietro e calcolare :

\(\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left(H(s)-e^{-s}\;H(s)\right) = \mathcal{L}^{-1} \left(\frac{1}{s^2}-1\right) \;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\;h(t) - h(t-1) \;u(t-1) = t\;u(t)-\delta(t) \)

adesso dovrei calcolare \(\displaystyle t(t) \). Vorrei soffermarmi un attimo su questo, innanzitutto la soluzione è corretta? Giungendo a questa forma l'esercizio può considerarsi concluso? Ha l'aspetto di una successione definita per ricorrenza..

[Oiram92]

nessuno?