Sistema di ODE omogenee a coefficienti costanti
Ciao, amici!
Ho il sistema di ODE
$ y^{\prime}(x) = A*y(x)$ con $y',y$ vettori ed $A = ((0, 1, 0, 0), (-1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, -1, 0))$ (Autovalori: $+"i"$ e $-"i"$ con molteplicità $2$).
La regola mi dice che la parte di soluzione generale relativa all'autovalore $a$ è del tipo $y = c_1*q*e^(ax) + c_2*p*x*e^(ax)$ ($q, p$ vettori di costanti, $c_1, c_2$ costanti arbitrarie),
dove p è autovettore di A associato ad a, mentre q si ricava da $p = (A-aI)q$.
Il mio dubbio è relativo al fatto che non riesco a ricavare q dalla suddetta relazione, la quale dà luogo ad un sistema impossibile...
in tal caso, che ripercussioni ci sono sulla soluzione generale del sistema di ODE?
Ho il sistema di ODE
$ y^{\prime}(x) = A*y(x)$ con $y',y$ vettori ed $A = ((0, 1, 0, 0), (-1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, -1, 0))$ (Autovalori: $+"i"$ e $-"i"$ con molteplicità $2$).
La regola mi dice che la parte di soluzione generale relativa all'autovalore $a$ è del tipo $y = c_1*q*e^(ax) + c_2*p*x*e^(ax)$ ($q, p$ vettori di costanti, $c_1, c_2$ costanti arbitrarie),
dove p è autovettore di A associato ad a, mentre q si ricava da $p = (A-aI)q$.
Il mio dubbio è relativo al fatto che non riesco a ricavare q dalla suddetta relazione, la quale dà luogo ad un sistema impossibile...
in tal caso, che ripercussioni ci sono sulla soluzione generale del sistema di ODE?
Risposte
"Shaka":
La regola mi dice che la soluzione generale è del tipo $y = q*e^(ax) + p*e^(ax)$ (q,p vettori di costanti, a è autovalore di A),
dove p è autovettore di A associato ad a, mentre q si ricava da $p = (A-aI)q$.
Non conosco questa regola.
Di certo hai un esponenziale complesso, visti glia autovalori.
Non mi convince il fatto che non compaiano delle "x", visto che hai soluzioni dell'equazione caratteristica di molteplicità 2.
Chiedo scusa: errore di distrazione nello scrivere la forma dell'integrale generale.
ps: Corretto!
ps: Corretto!
Il problema rimane che il sistema $ p = (A-aI)q $ risulta impossibile.
La soluzione generale da me trovata è:
$ c_1*v_1*e^(-ix) + c_2*v_2*e^(-ix) + c_3*v_3*e^(ix) + c_4*v_4*e^(ix)$
con $v_1$ =[1 -i 0 0], $v_2$ =[0 0 1 -i], autovettori associati all'autovalore -i,
$v_3$ =[1 i 0 0], $v_4$ =[0 0 1 i], autovettori associati all'autovalore i,
$ c_1, c_2, c_3, c_4$, costanti arbitrarie.
Non compaiono nella soluzione termini in $x*e^(ax)$ (con a autovalore qualsiasi di A), come invece dovrebbero comparire essendo gli autovalori di A a molteplicità maggiore di 1,
poichè il sistema $v_1 = (A+i*I)q$, ad esempio, non ha soluzione.
E' corretto quanto ho affermato?
Se sì, mi sapreste dire quando, nel caso di autovalori complessi multipli, compaiono nella soluzione termini in $x*e^(ax)$ ?
Grazie!
$ c_1*v_1*e^(-ix) + c_2*v_2*e^(-ix) + c_3*v_3*e^(ix) + c_4*v_4*e^(ix)$
con $v_1$ =[1 -i 0 0], $v_2$ =[0 0 1 -i], autovettori associati all'autovalore -i,
$v_3$ =[1 i 0 0], $v_4$ =[0 0 1 i], autovettori associati all'autovalore i,
$ c_1, c_2, c_3, c_4$, costanti arbitrarie.
Non compaiono nella soluzione termini in $x*e^(ax)$ (con a autovalore qualsiasi di A), come invece dovrebbero comparire essendo gli autovalori di A a molteplicità maggiore di 1,
poichè il sistema $v_1 = (A+i*I)q$, ad esempio, non ha soluzione.
E' corretto quanto ho affermato?
Se sì, mi sapreste dire quando, nel caso di autovalori complessi multipli, compaiono nella soluzione termini in $x*e^(ax)$ ?
Grazie!
Secondo me è giusto che tu non riesca a risolvere quel sistema perchè la matrice dei coefficienti ha determinante nullo (gli autovalori sono proprio i numeri che annullano il determinante di quella matrice) e quindi non è invertibile. Il punto è che se il sottospazio associato all'autovalore in questione, mettiamo di molteplicità 2, ha dimensione 2 allora puoi trovare due autovettori linearmente indipendenti e scrivere due soluzioni in funzione di questi. Secondo me le soluzioni del tipo $x*e^(\lambda x)$ compaiono quando non esiste una base di autovettori e per ottenere il giusto numero di soluzioni indipendenti bisogna introdurre una funzione che sia indipendente dalle altre. Però magari dico cavolate....
Hai ragione, alle.fabbri: solo quando la matrice A non è diagonalizzabile compaiono soluzioni del tipo $x*e^(\lambda x)$.
In questo caso A è diagonalizzabile, quindi la soluzione generale è:
$c_1⋅v_1⋅e^(-ix)+c_2⋅v_2⋅e^(-ix)+c_3⋅v_3⋅e^(ix)+c_4⋅v_4⋅e^(ix)$ .
In questo caso A è diagonalizzabile, quindi la soluzione generale è:
$c_1⋅v_1⋅e^(-ix)+c_2⋅v_2⋅e^(-ix)+c_3⋅v_3⋅e^(ix)+c_4⋅v_4⋅e^(ix)$ .
Ok, va bene. Dopo puoi chiaramente esprimere anche la soluzione generale in ambito reale. 
[OT] Bella la tua nuova firma, amel!!!
La sottoscrivo in pieno.
La sottoscrivo in pieno.
"dissonance":
[OT] Bella la tua nuova firma, amel!!!
La sottoscrivo in pieno.
Grazie (e non so se si è capito il senso della firma...
).
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