Sistema di $n$ equazioni differenziali.
Ho l'equazione differenziale scritta in forma compatta:
$ vec f^(e)_i + f^(I)_i (\vec r_1, ..., \vec r_{i-1}, \vec r_{i+1}, ..., \vec r_n) = m_i{d\vec r^2_i}/{dt^2} $
Come andrebbe scritta se volessi costituirla in un sistema di equazioni algebriche?
$ vec f^(e)_i + f^(I)_i (\vec r_1, ..., \vec r_{i-1}, \vec r_{i+1}, ..., \vec r_n) = m_i{d\vec r^2_i}/{dt^2} $
Come andrebbe scritta se volessi costituirla in un sistema di equazioni algebriche?
Risposte
Se lavori in uno spazio finitodimensionale (tipicamente $RR^n$, visto che secondo me è roba di fisica matematica!) fissa una base e proietta l'equazione su ogni direzione: ossia moltiplica l'equazione scalarmente per i vettori della base.
Poichè la base è costituita da vettori generatori e linearmente indipendenti, analizzare iil problema dal punto di vista delle componenti, o dal punto di vista vettoriale, è lo stesso.
Poichè la base è costituita da vettori generatori e linearmente indipendenti, analizzare iil problema dal punto di vista delle componenti, o dal punto di vista vettoriale, è lo stesso.
Certo che è Fisica... Anzi, credo sia Meccanica Razionale (insomma l'esame degli ingegneri).
La classica $f=m*a$ non mente mai (nemmeno se $f$ è scomposta in componente interna ed esterna).
La classica $f=m*a$ non mente mai (nemmeno se $f$ è scomposta in componente interna ed esterna).
Beh, non ho specificato, penso sarebbe stato offensivo per la vostra intelligenza farlo:-D.
Comunque si tratta di fisica (non si tratta nemmeno dell'esame di meccanica razionale).
Io scompongo l'equazione vettoriale in tre equazioni scalari, ma ogni componente, se non ricordo male, continua a dipendere da $3 * n$ variabili scalari. Per semplicità considero il caso dei campi di forze definiti solo in $RR^3$, che dipendono solo da un vettore posizione: $\vec f (\vec r_1)$.
Scomponendo lungo le tre componenti scalari, ottengo il sistema (non considero le forze esterne, che invece ho considerato nell'intestazione: penso che le motivazioni di questa mia azione siano chiare):
$f_x (x, y, z) = m * frac {d^2x}{dt^2}$
$f_y (x, y, z) = m * frac {d^2y}{dt^2}$
$f_z (x, y, z) = m * frac {d^2z}{dt^2}$
$x, y, z$ sono le coordinate di $\vec r_1$. Come si estende tale caso al caso in cui $\vec f$ non dipenda solo da un vettore posizione, ma da $n$ vettori posizione?
Comunque si tratta di fisica (non si tratta nemmeno dell'esame di meccanica razionale).
Io scompongo l'equazione vettoriale in tre equazioni scalari, ma ogni componente, se non ricordo male, continua a dipendere da $3 * n$ variabili scalari. Per semplicità considero il caso dei campi di forze definiti solo in $RR^3$, che dipendono solo da un vettore posizione: $\vec f (\vec r_1)$.
Scomponendo lungo le tre componenti scalari, ottengo il sistema (non considero le forze esterne, che invece ho considerato nell'intestazione: penso che le motivazioni di questa mia azione siano chiare):
$f_x (x, y, z) = m * frac {d^2x}{dt^2}$
$f_y (x, y, z) = m * frac {d^2y}{dt^2}$
$f_z (x, y, z) = m * frac {d^2z}{dt^2}$
$x, y, z$ sono le coordinate di $\vec r_1$. Come si estende tale caso al caso in cui $\vec f$ non dipenda solo da un vettore posizione, ma da $n$ vettori posizione?
Diciamo che l'$i$-esima equazione è del tipo $\vec(f)_i(\vec(r)_1,\ldots ,\vec(r)_n)=m_i*("d"^2\vec(r)_i)/("d"t^2)$ e che $\vec(r)_i=(x_i^1,x_i^2,x_i^3)$ (così abbiamo una notazione un po' più sintetica).
La $\vec(f)_i$ può essere riguardata come funzione vettoriale a tre componenti ($\vec(f)_i=(f_i^1,f_i^2,f_i^3)$) delle $3n$ variabili $x_1^1,x_2^1,x_3^1,x_2^1,x_2^2,x_2^3,\ldots,x_n^1,x_n^2,x_n^3$; pertanto dalla singola equazione vettoriale escono fuori $3$ equazioni scalari in $3n$ incognite:
$\{(f_i^1(x_1^1,x_1^2,x_1^3,\ldots ,x_n^1,x_n^2,x_n^3)=m_i*("d"^2x_i^1)/("d"t^2)),(f_i^2(x_1^1,x_1^2,x_1^3,\ldots ,x_n^1,x_n^2,x_n^3)=m_i*("d"^2x_i^2)/("d"t^2)),(f_i^3(x_1^1,x_1^2,x_1^3,\ldots ,x_n^1,x_n^2,x_n^3)=m_i*("d"^2x_i^3)/("d"t^2)):}$
Visto che hai a che fare con $n$ equazioni del tipo suddetto, in totale trovi $3n$ equazioni nelle $3n$ incognite $x_i^j$ ($i=1,\ldots ,n$ e $j=1,2,3$); l'equazione relativa alla $j$-esima componente di $\vec(f)_i$ è:
$f_i^j(x_1^1,x_1^2,x_1^3,\ldots ,x_n^1,x_n^2,x_n^3)=m_i*("d"^2x_i^j)/("d"t^2)$
ed il tuo sistema si ottiene facendo variare $(i,j) \in \{1,\ldots ,n\} \times \{ 1,2,3\}$.
Ovviamente, niente ti vieta di supporre che le $\vec(f)_i$ siano anche funzioni del tempo; in questo caso basta aggiungere la variabile $t$ ai primi membri e l'equazione relativa alla $j$-esima componente di $\vec(f)_i$ diventa:
$f_i^j(t,x_1^1,x_1^2,x_1^3,\ldots ,x_n^1,x_n^2,x_n^3)=m_i*("d"^2x_i^j)/("d"t^2)$
La $\vec(f)_i$ può essere riguardata come funzione vettoriale a tre componenti ($\vec(f)_i=(f_i^1,f_i^2,f_i^3)$) delle $3n$ variabili $x_1^1,x_2^1,x_3^1,x_2^1,x_2^2,x_2^3,\ldots,x_n^1,x_n^2,x_n^3$; pertanto dalla singola equazione vettoriale escono fuori $3$ equazioni scalari in $3n$ incognite:
$\{(f_i^1(x_1^1,x_1^2,x_1^3,\ldots ,x_n^1,x_n^2,x_n^3)=m_i*("d"^2x_i^1)/("d"t^2)),(f_i^2(x_1^1,x_1^2,x_1^3,\ldots ,x_n^1,x_n^2,x_n^3)=m_i*("d"^2x_i^2)/("d"t^2)),(f_i^3(x_1^1,x_1^2,x_1^3,\ldots ,x_n^1,x_n^2,x_n^3)=m_i*("d"^2x_i^3)/("d"t^2)):}$
Visto che hai a che fare con $n$ equazioni del tipo suddetto, in totale trovi $3n$ equazioni nelle $3n$ incognite $x_i^j$ ($i=1,\ldots ,n$ e $j=1,2,3$); l'equazione relativa alla $j$-esima componente di $\vec(f)_i$ è:
$f_i^j(x_1^1,x_1^2,x_1^3,\ldots ,x_n^1,x_n^2,x_n^3)=m_i*("d"^2x_i^j)/("d"t^2)$
ed il tuo sistema si ottiene facendo variare $(i,j) \in \{1,\ldots ,n\} \times \{ 1,2,3\}$.
Ovviamente, niente ti vieta di supporre che le $\vec(f)_i$ siano anche funzioni del tempo; in questo caso basta aggiungere la variabile $t$ ai primi membri e l'equazione relativa alla $j$-esima componente di $\vec(f)_i$ diventa:
$f_i^j(t,x_1^1,x_1^2,x_1^3,\ldots ,x_n^1,x_n^2,x_n^3)=m_i*("d"^2x_i^j)/("d"t^2)$
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