Sistema di equazioni trigonometriche
Ciao a tutti ragazzi, sto avendo non pochi problemi nel risolvere questo sistema di equazioni.
Il sistema è il seguente:
\[
\begin{cases}
(c-y) \cos z +a\ \cos x - v = 0\\
(c-y)\ \sin z\ -a\ \sin x -d = 0\\
e + a\ \cos x - y\ \cos z - b\ \cos w = 0\\
f + b\ \sin w - a\ \sin x - y\ \sin z =0
\end{cases}
\]
dove a,b,c,d,e,f sono costanti note, mentre v,w,x,y,z sono le variabili.
Quello che dovrei ottenere alla fine sono 4 espressioni per le incognite v, w, y, z, in funzione della variabile imposta x.
Il sistema è il seguente:
\[
\begin{cases}
(c-y) \cos z +a\ \cos x - v = 0\\
(c-y)\ \sin z\ -a\ \sin x -d = 0\\
e + a\ \cos x - y\ \cos z - b\ \cos w = 0\\
f + b\ \sin w - a\ \sin x - y\ \sin z =0
\end{cases}
\]
dove a,b,c,d,e,f sono costanti note, mentre v,w,x,y,z sono le variabili.
Quello che dovrei ottenere alla fine sono 4 espressioni per le incognite v, w, y, z, in funzione della variabile imposta x.
Risposte
Potrebbe essere utile sapere da dove esce fuori il problema e se hai già qualche soluzione numerica.
Inoltre, sei sicuro che ti serva conoscere le funzioni \(y=y(x;a,b,c,d,e,f)\), \(z=z(x;a,b,c,d,e,f)\), \(v=v(x;a,b,c,d,e,f)\) e \(w=w(x;a,b,c,d,e,f)\) esplicitamente?
Non ti basta sapere che tali funzioni esistono (cosa che si può cercare di garantire col teorema del Dini)?
Inoltre, sei sicuro che ti serva conoscere le funzioni \(y=y(x;a,b,c,d,e,f)\), \(z=z(x;a,b,c,d,e,f)\), \(v=v(x;a,b,c,d,e,f)\) e \(w=w(x;a,b,c,d,e,f)\) esplicitamente?
Non ti basta sapere che tali funzioni esistono (cosa che si può cercare di garantire col teorema del Dini)?
Chiedo scusa, effettivamente dovevo essere più chiaro. Quelle che ho scritto sono le equazioni di chiusura di un meccanismo piano, nello specifico una tipologia particolare di glifo oscillante. Le costanti (da a ad f) rappresentano le lunghezze dei bracci e le distanze tra diversi punti fissi del meccanismo, mentre le variabili mi descrivono come il meccanismo si muove, tutto in funzione della variabile x, che è l'angolo di rotazione del movente. Comunque, al di là del contesto meccanico in cui si collocano le equazioni, sono certo che le equazioni di chiusura siano quelle scritte.
Purtroppo quello di cui ho bisogno sono effettivamente le espressioni di v, w, y, z in funzione della x in modo da poterne graficare l'andamento. Ho provato e riprovato, ma non riesco proprio a venirne a capo.
Purtroppo quello di cui ho bisogno sono effettivamente le espressioni di v, w, y, z in funzione della x in modo da poterne graficare l'andamento. Ho provato e riprovato, ma non riesco proprio a venirne a capo.
Innanzitutto, è meglio chiarire una cosa: non è detto che un sistema di equazioni, anche sufficientemente "carine", sia risolvibile esplicitamente.
Quindi potrebbe anche essere impossibile avere sotto mano le quattro funzioni che chiedi.
Proprio per ovviare a queste situazioni, generazioni di Matematici si sono impegnati per cercare di fornire strumenti adatti ad ottenere informazioni qualitative sul comportamento di funzioni delle quali non si conosce nulla a parte il fatto che esse soddisfano certe equazioni (siano esse equazioni ordinarie o equazioni differenziali).
Uno di questi strumenti è il teorema del Dini, il quale, se applicato bene in casi "sufficientemente" semplici, consente di tirare fuori informazioni qualitative sensate su funzioni che, pur esistendo, non si sa scrivere esplicitamente.
Il problema è: che informazioni ti servirebbe conoscere circa \(y,z,v,w\)?
Hai mai usato (o sai cos'è) il teorema del Dini?
Per tornare alle equazioni, guardandone la forma, esse mi sembrano derivare dall'uso di numeri complessi. Perciò potrebbe essere plausibile che, in forma complessa, le equazioni siano un po' più maneggevoli. Hai provato?
Inoltre, il problema mi pare abbastanza classico (se devo giudicare ad occhio, questo tipo di meccanismo esiste da mooolto tempo); hai provato a fare una ricerca sull'argomento? Anche in inglese?
Quindi potrebbe anche essere impossibile avere sotto mano le quattro funzioni che chiedi.
Proprio per ovviare a queste situazioni, generazioni di Matematici si sono impegnati per cercare di fornire strumenti adatti ad ottenere informazioni qualitative sul comportamento di funzioni delle quali non si conosce nulla a parte il fatto che esse soddisfano certe equazioni (siano esse equazioni ordinarie o equazioni differenziali).
Uno di questi strumenti è il teorema del Dini, il quale, se applicato bene in casi "sufficientemente" semplici, consente di tirare fuori informazioni qualitative sensate su funzioni che, pur esistendo, non si sa scrivere esplicitamente.
Il problema è: che informazioni ti servirebbe conoscere circa \(y,z,v,w\)?
Hai mai usato (o sai cos'è) il teorema del Dini?
Per tornare alle equazioni, guardandone la forma, esse mi sembrano derivare dall'uso di numeri complessi. Perciò potrebbe essere plausibile che, in forma complessa, le equazioni siano un po' più maneggevoli. Hai provato?
Inoltre, il problema mi pare abbastanza classico (se devo giudicare ad occhio, questo tipo di meccanismo esiste da mooolto tempo); hai provato a fare una ricerca sull'argomento? Anche in inglese?
Il problema è: che informazioni ti servirebbe conoscere circa y,z,v,w?
Questo è il glifo in questione.
Cerco di spiegarmi usando da esempio una delle 4 variabili da ricavare: v rappresenta la distanza in direzione orizzontale del pattino C dal punto O2 , che è vincolato a scorrere lungo la sua guida. La posizione del suddetto pattino (e quindi il valore di v) dipende dall' angolo di rotazione x del movente (l'asta O2B, nell'immagine). Il progetto richiede che la corsa del pattino sia di 90cm. In altri termini, dovrò dimensionare le aste (cioè le costanti a, b, c, ecc...) in modo tale che la differenza tra valore minimo e valore massimo della funzione descrivente v sia proprio di 90cm. Ora, tralasciando il problema del dimensionamento delle aste, credo che l'espressione di v in funzione di x resti un elemento imprescindibile affinchè io possa andare avanti con la progettazione.
Il ragionamento appena fatto per la variabile v si estende anche alle altre 3 variabili, che non sto qui a scrivere per non dilungarmi troppo.
Quelle che sono le espressioni descriventi y, z, v, w nella variabile x rappresentano la cinematica di posizione del meccanismo e quindi mi descrivono come il meccanismo si muove, pezzo per pezzo. Sarà richiesto in seguito nel progetto anche la cinematica delle velocità e quindi la derivazione delle suddette espressioni.
Hai mai usato (o sai cos'è) il teorema del Dini?
Lo studiai a suo tempo nel corso di Analisi 2, è passato parecchio tempo e sono abbastanza arrugginito. Da quello che mi ricordo non so se la sua applicazione mi porti a risultati concreti, ma potrei sbagliarmi.
Per tornare alle equazioni, guardandone la forma, esse mi sembrano derivare dall'uso di numeri complessi. Perciò potrebbe essere plausibile che, in forma complessa, le equazioni siano un po' più maneggevoli. Hai provato?
Effettivamente è possibile che in forma complessa siano più maneggevoli. Resta il fatto che poi dovrò ritornare nel dominio reale per avanzare col progetto.
Inoltre, il problema mi pare abbastanza classico (se devo giudicare ad occhio, questo tipo di meccanismo esiste da mooolto tempo); hai provato a fare una ricerca sull'argomento? Anche in inglese?
Purtroppo quello in analisi non è un glifo oscillante classico (di più facile risoluzione), ma una variante meccanicamente (e a quanto pare anche matematicamente
) più complessa. Ho provato a cercare articoli, ma non ho trovato nulla che si possa applicare al glifo in analisi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo