Sistema di equazioni trascendenti
Salve ragazzi, ho un dubbio sulla risoluzione di questo sistema, mi serve per trovare i punti critici di una funzione:
\begin{cases} y-2xcos(x^2+y^2)=0 \\ x-2ycos(x^2+y^2)=0 \end{cases}
Ho pensato che le due funzioni sono simmetriche rispetto alla bisettrice $y=x$ e, dunque esse si intersecano nei punti di intersezione di una delle due con l'asse di simmetria stess0. Equivale cioè a scrivere:
\begin{cases} y=x \\ x-2ycos(x^2+y^2)=0 \end{cases}
E poi risolvere questi due sistemi.
E' un ragionamento giusto o sbaglio procedimento?
Ringrazio in anticipo
\begin{cases} y-2xcos(x^2+y^2)=0 \\ x-2ycos(x^2+y^2)=0 \end{cases}
Ho pensato che le due funzioni sono simmetriche rispetto alla bisettrice $y=x$ e, dunque esse si intersecano nei punti di intersezione di una delle due con l'asse di simmetria stess0. Equivale cioè a scrivere:
\begin{cases} y=x \\ x-2ycos(x^2+y^2)=0 \end{cases}
E poi risolvere questi due sistemi.
E' un ragionamento giusto o sbaglio procedimento?
Ringrazio in anticipo
Risposte
Eh no mi spiace, così troveresti solo i punti lungo la bisettrice(se esistono).
Infatti in primo luogo anche se è vero che una è la riflessa dell'altra rispetto alla bisettrice, questo non ti garantisce che la loro curva di livello zero, intersechi la bisettrice.
mi spiego meglio tu stai studiando il sistema
$$
\begin{cases}F(x,y)=0 \\ G(x,y)=0\end{cases}
$$
Dove nel tuo caso vale anche che $F(x,y)=G(y,x)$ e viceversa. Tu quindi vuoi vedere quando le curve di livello zero delle due funzioni si intersecano... però prendi ad esempio le funzioni $F(x,y)=x-y+1$ e $G(x,y)=y-x+1$ anche queste come vedi sono "simmetriche" rispetto alla bisettrice, però se provi a disegnare le curve di livello(cioè le curve che saltano fuori risolvendo $F=0$ e $G=0$) vedrai che queste non si intersecano, e non intersecano tanto meno la bisettrice.
Allo stesso modo il fatto di intersecare la bisettrice non garantisce che quelli sulla bisettrice siano gli unici punti in cui queste si intersecano.
Infatti prendiamo banalmente le funzioni $F(x,y)=x^2+y^2-1$ e la sua riflessa $G(x,y)=y^2+x^2-1$ ora per il tuo ragionamento otterresti che le due curve di livello si intersecherebbero solo in due punti, quando evidentemente si intersecano in infiniti punti (le funzioni sono uguali)... un esempio meno banale che si può verificare facilmente a matita è il seguente: se prendiamo
$$
F(x,y)=\begin{cases}x^2+y^2 -1 \, & se \, y\leq x \\ x-\frac{1}{\sqrt{2}} \, & se \, y\geq x\end{cases}
$$
e chiaramente prendi $G(x,y)=F(y,x)$ e provi a disegnare il tutto, vedrai che le curve di livello si intersecano due volte sulla bisettrice e due volte fuori dalla bisettrice...
Quindi il tuo ragionamento non ti porta sulla buona strada, tuttavia, il fatto che siano simmetriche ti suggerisce che puoi risolvere il sistema sommando e sottraendo le due equazioni...
Per inciso se provi, vedrai che esistono un infinità di punti che non si trovano sulla bisettrice, col tuo metodo avresti trovato unicamente quelli sulla bisettrice...
Infatti in primo luogo anche se è vero che una è la riflessa dell'altra rispetto alla bisettrice, questo non ti garantisce che la loro curva di livello zero, intersechi la bisettrice.
mi spiego meglio tu stai studiando il sistema
$$
\begin{cases}F(x,y)=0 \\ G(x,y)=0\end{cases}
$$
Dove nel tuo caso vale anche che $F(x,y)=G(y,x)$ e viceversa. Tu quindi vuoi vedere quando le curve di livello zero delle due funzioni si intersecano... però prendi ad esempio le funzioni $F(x,y)=x-y+1$ e $G(x,y)=y-x+1$ anche queste come vedi sono "simmetriche" rispetto alla bisettrice, però se provi a disegnare le curve di livello(cioè le curve che saltano fuori risolvendo $F=0$ e $G=0$) vedrai che queste non si intersecano, e non intersecano tanto meno la bisettrice.
Allo stesso modo il fatto di intersecare la bisettrice non garantisce che quelli sulla bisettrice siano gli unici punti in cui queste si intersecano.
Infatti prendiamo banalmente le funzioni $F(x,y)=x^2+y^2-1$ e la sua riflessa $G(x,y)=y^2+x^2-1$ ora per il tuo ragionamento otterresti che le due curve di livello si intersecherebbero solo in due punti, quando evidentemente si intersecano in infiniti punti (le funzioni sono uguali)... un esempio meno banale che si può verificare facilmente a matita è il seguente: se prendiamo
$$
F(x,y)=\begin{cases}x^2+y^2 -1 \, & se \, y\leq x \\ x-\frac{1}{\sqrt{2}} \, & se \, y\geq x\end{cases}
$$
e chiaramente prendi $G(x,y)=F(y,x)$ e provi a disegnare il tutto, vedrai che le curve di livello si intersecano due volte sulla bisettrice e due volte fuori dalla bisettrice...
Quindi il tuo ragionamento non ti porta sulla buona strada, tuttavia, il fatto che siano simmetriche ti suggerisce che puoi risolvere il sistema sommando e sottraendo le due equazioni...
Per inciso se provi, vedrai che esistono un infinità di punti che non si trovano sulla bisettrice, col tuo metodo avresti trovato unicamente quelli sulla bisettrice...
"matteo.stoico":
Salve ragazzi, ho un dubbio sulla risoluzione di questo sistema, mi serve per trovare i punti critici di una funzione:
\begin{cases} y-2xcos(x^2+y^2)=0 \\ x-2ycos(x^2+y^2)=0 \end{cases}
Ho pensato che le due funzioni sono simmetriche rispetto alla bisettrice $y=x$ e, dunque esse si intersecano nei punti di intersezione di una delle due con l'asse di simmetria stess0. Equivale cioè a scrivere:
\begin{cases} y=x \\ x-2ycos(x^2+y^2)=0 \end{cases}
E poi risolvere questi due sistemi.
E' un ragionamento giusto o sbaglio procedimento?
Ringrazio in anticipo
Innanzitutto, nota che $(0,0)$ è una soluzione; quindi ti basta determinare le soluzioni diverse da quella nulla.
Per fare ciò, basta moltiplicare la prima equazione per $y$, la seconda per $x$ e sottrarre membro a membro.
"Bossmer":
Eh no mi spiace, così troveresti solo i punti lungo la bisettrice(se esistono).
Infatti in primo luogo anche se è vero che una è la riflessa dell'altra rispetto alla bisettrice, questo non ti garantisce che la loro curva di livello zero, intersechi la bisettrice.
mi spiego meglio tu stai studiando il sistema
$$
\begin{cases}F(x,y)=0 \\ G(x,y)=0\end{cases}
$$
Dove nel tuo caso vale anche che $F(x,y)=G(y,x)$ e viceversa. Tu quindi vuoi vedere quando le curve di livello zero delle due funzioni si intersecano... però prendi ad esempio le funzioni $F(x,y)=x-y+1$ e $G(x,y)=y-x+1$ anche queste come vedi sono "simmetriche" rispetto alla bisettrice, però se provi a disegnare le curve di livello(cioè le curve che saltano fuori risolvendo $F=0$ e $G=0$) vedrai che queste non si intersecano, e non intersecano tanto meno la bisettrice.
Allo stesso modo il fatto di intersecare la bisettrice non garantisce che quelli sulla bisettrice siano gli unici punti in cui queste si intersecano.
Infatti prendiamo banalmente le funzioni $F(x,y)=x^2+y^2-1$ e la sua riflessa $G(x,y)=y^2+x^2-1$ ora per il tuo ragionamento otterresti che le due curve di livello si intersecherebbero solo in due punti, quando evidentemente si intersecano in infiniti punti (le funzioni sono uguali)... un esempio meno banale che si può verificare facilmente a matita è il seguente: se prendiamo
$$
F(x,y)=\begin{cases}x^2+y^2 -1 \, & se \, y\leq x \\ x-\frac{1}{\sqrt{2}} \, & se \, y\geq x\end{cases}
$$
e chiaramente prendi $G(x,y)=F(y,x)$ e provi a disegnare il tutto, vedrai che le curve di livello si intersecano due volte sulla bisettrice e due volte fuori dalla bisettrice...
Quindi il tuo ragionamento non ti porta sulla buona strada, tuttavia, il fatto che siano simmetriche ti suggerisce che puoi risolvere il sistema sommando e sottraendo le due equazioni...
Per inciso se provi, vedrai che esistono un infinità di punti che non si trovano sulla bisettrice, col tuo metodo avresti trovato unicamente quelli sulla bisettrice...
Grazie mille Bossmer, non riuscivo proprio a focalizzare mentalmente dove possono incontrarsi due funzioni simmetriche al di fuori dell'asse di simmetria... i tuoi esempi mi hanno aperto gli occhi
Innanzitutto, nota che $(0,0)$ è una soluzione; quindi ti basta determinare le soluzioni diverse da quella nulla.
Per fare ciò, basta moltiplicare la prima equazione per $y$, la seconda per $x$ e sottrarre membro a membro.
Grazie gugo82! Con questo procedimento sono riuscito a risolvere molti sistemi come questo...
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