Sistema di equazioni e seno, risultato errato?

[ronti1]

Ciao, non capisco cosa sbaglio in un sistema di equazioni.

$theta_1 in RR, theta_2 in RR$ sono le mie due variabili

$omega in RR$ è un parametro


$ { ( 0= omega + sin(theta_2 -theta_1) ),( 0= omega + sin(theta_1 -theta_2) ):} $

CASO IN CUI $omega!=0$ :

$ { ( -omega= sin(theta_2 -theta_1) ),( sin(theta_2 -theta_1)= sin(theta_1 -theta_2) ):} $

Da questo sistema capisco che $omega$ deve essere per forza uguale a $0$.

Adesso arriva il problema:

CASO IN CUI $omega=0$ :


$ { ( 0= sin(theta_2 -theta_1) ),( 0= sin(theta_1 -theta_2) ):} $

$ rArr { ( k_a pi= theta_2 -theta_1 ),( k_bpi= theta_1 -theta_2 ):} , (k in ZZ)$

$ rArr { ( theta_2 = theta_1 + k_a pi ),( k_bpi= theta_1 -theta_2 ):} $

$ rArr { ( theta_2 = theta_1 + k_a pi ),( k_bpi= k_a pi):} $

Da cui ottengo che la mia soluzione è data da:

$ { ( theta_2 = theta_1 ),( k_b=-k_a=-k):} $

La mia soluzione è sbagliata, quella corretta in realtà è:

$ { ( theta_1 = c, forall c: c in R ),( theta_2=c+kpi ):} $

Sapreste dirmi dove ho sbagliato?

[CLaudio Nine]

Due equazioni e due incognite danno un'unica soluzione.

Due equazioni, due incognite ed un parametro danno infinite soluzioni al variare del parametro.

Già il fatto che non pervieni all'ultimo risultato ti dovrebbe far pensare, no?

[gio73]

"CLaudio Nine":Due equazioni e due incognite danno un'unica soluzione.

Mettiamo un "di solito"?

[pilloeffe]

Ciao ronti,

"ronti":
${ ( -omega= sin(\theta_2 - \theta_1) ),(sin(\theta_2 - \theta_1) = sin(\theta_1 - \theta_2)):}$

Dalla seconda che hai scritto si ha:

$ sin(\theta_2 - \theta_1) - sin(\theta_1 - \theta_2) = 0 $
$ sin(\theta_2 - \theta_1) + sin(\theta_2 - \theta_1) = 0 $
$ 2 sin(\theta_2 - \theta_1) = 0 $
$ sin(\theta_2 - \theta_1) = 0 $

Da cui $\theta_2 - \theta_1 = k\pi $, $k \in \ZZ $
Posto $\theta_1 := c $ (anche se onestamente non ne vedo la necessità, nel senso che si poteva tranquillamente mantenere $\theta_1 $... ) si ha proprio la soluzione seguente:

${(\theta_1 = c),(\theta_2 = c+k\pi),(\omega = 0):} $

[ronti1]

"pilloeffe":

$ sin(\theta_2 - \theta_1) - sin(\theta_1 - \theta_2) = 0 $
$ sin(\theta_2 - \theta_1) + sin(\theta_2 - \theta_1) = 0 $
$ 2 sin(\theta_2 - \theta_1) = 0 $
$ sin(\theta_2 - \theta_1) = 0 $

Da cui $\theta_2 - \theta_1 = k\pi $, $k \in \ZZ $
Posto $\theta_1 := c $ (anche se onestamente non ne vedo la necessità, nel senso che si poteva tranquillamente mantenere $\theta_1 $... ) si ha proprio la soluzione seguente:

${(\theta_1 = c),(\theta_2 = c+k\pi),(\omega = 0):} $

pilloeffe grazieeee

(@gio come mai di solito?)

[gio73]

Non è vero che 2 equazioni a 2 incognite hanno (sempre) una sola soluzione (coppia di valori).

Es $y=x$ e $y=x+1$