Sistema di equazioni differenziali: vari dubbi
Salve a tutti, sto trattando un sistema di equazioni differenziali
$$\begin{cases}
x'=x-xy^2+\sin(x+y) \\
y'=-x+\sin y
\end{cases}$$
Mi è richiesto di dimostrare che le soluzioni sono definite per tutti i tempi.
Ho dei dubbi su alcuni fatti citati nella risoluzione, ve la riporto: notiamo che $\left(x(t),y(t)\right)=(0,0)$ è soluzione, introdotta la funzione $\xi(t):=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}$ si ha che essa non può essere mai nulla a meno che non lo sia per tutti i tempi; possiamo quindi assumere $\xi\ne0$.
Derivando si ottiene
$$\dot{\xi}=\frac{2x\left(x-xy^2+\sin(x+y)\right)}{2\xi}+\frac{2y(-x+\sin y)}{2\xi}$$
Integrando e notando che
$$|x\sin(x+y)|\leq x^2+|xy|\leq x^2+\frac{1}{2}(x^2+y^2)\leq\frac{3}{2}\xi$$
$$|y\sin y|\leq y^2$$
Si ottiene
$$\xi(t)\leq \xi(0)+3\int_0^t \xi(s)ds$$
Che, per la disuguaglianza di Grönwall, implica
$$\xi(t)\leq e^{3t}\xi(0)$$
Poiché la soluzione non esplode è definita per tutti i tempi.
I miei dubbi sono i seguenti:
1) Non mi sono pienamente chiare le stime, nella prima penso abbia considerato questo: usando che $||x||=|x|$ e la disuguaglianza triangolare
$$|x\sin(x+y)|\leq \left|x|x+y|\right|=|x(x+y)|=|x^2+xy|\leq |x^2|+|xy|=x^2+|xy|$$
Ora credo usi il quadrato di binomio unito al fatto che $x^2\leq x^2+y^2$ nella maggiorazione, ma io so che esso produce $\frac{1}{2}(x^2+y^2)\geq xy$; perciò non mi torna quel valore assoluto.
Poi, anche sostituendo le stime, non mi è chiaro come giunge ad avere soltanto $\xi$ come funzione integranda.
2) Noto che integra partendo con $t_0=0$, perché può? Posso decidere arbitrariamente la condizione iniziale se non mi viene specificata? La soluzione poi non esplode perché si intende esplosione in tempo finito, giusto?
3) Il fatto che la funzione $\xi$ non sia mai nulla e, se lo è, lo è per tutti i tempi è una conseguenza dell'unicità della soluzione? Se si annullasse ci sarebbero due soluzioni, ma ciò non è possibile per unicità; sono solo insicuro sul fatto che effettivamente la soluzione sia unica.
Grazie a tutti.
$$\begin{cases}
x'=x-xy^2+\sin(x+y) \\
y'=-x+\sin y
\end{cases}$$
Mi è richiesto di dimostrare che le soluzioni sono definite per tutti i tempi.
Ho dei dubbi su alcuni fatti citati nella risoluzione, ve la riporto: notiamo che $\left(x(t),y(t)\right)=(0,0)$ è soluzione, introdotta la funzione $\xi(t):=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}$ si ha che essa non può essere mai nulla a meno che non lo sia per tutti i tempi; possiamo quindi assumere $\xi\ne0$.
Derivando si ottiene
$$\dot{\xi}=\frac{2x\left(x-xy^2+\sin(x+y)\right)}{2\xi}+\frac{2y(-x+\sin y)}{2\xi}$$
Integrando e notando che
$$|x\sin(x+y)|\leq x^2+|xy|\leq x^2+\frac{1}{2}(x^2+y^2)\leq\frac{3}{2}\xi$$
$$|y\sin y|\leq y^2$$
Si ottiene
$$\xi(t)\leq \xi(0)+3\int_0^t \xi(s)ds$$
Che, per la disuguaglianza di Grönwall, implica
$$\xi(t)\leq e^{3t}\xi(0)$$
Poiché la soluzione non esplode è definita per tutti i tempi.
I miei dubbi sono i seguenti:
1) Non mi sono pienamente chiare le stime, nella prima penso abbia considerato questo: usando che $||x||=|x|$ e la disuguaglianza triangolare
$$|x\sin(x+y)|\leq \left|x|x+y|\right|=|x(x+y)|=|x^2+xy|\leq |x^2|+|xy|=x^2+|xy|$$
Ora credo usi il quadrato di binomio unito al fatto che $x^2\leq x^2+y^2$ nella maggiorazione, ma io so che esso produce $\frac{1}{2}(x^2+y^2)\geq xy$; perciò non mi torna quel valore assoluto.
Poi, anche sostituendo le stime, non mi è chiaro come giunge ad avere soltanto $\xi$ come funzione integranda.
2) Noto che integra partendo con $t_0=0$, perché può? Posso decidere arbitrariamente la condizione iniziale se non mi viene specificata? La soluzione poi non esplode perché si intende esplosione in tempo finito, giusto?
3) Il fatto che la funzione $\xi$ non sia mai nulla e, se lo è, lo è per tutti i tempi è una conseguenza dell'unicità della soluzione? Se si annullasse ci sarebbero due soluzioni, ma ciò non è possibile per unicità; sono solo insicuro sul fatto che effettivamente la soluzione sia unica.
Grazie a tutti.
Risposte
Per quanto riguarda le maggiorazioni, ho l'impressione che siano stati saltati alcuni passaggi. Ad ogni modo, si può concludere anche così:
Equazione differenziale
$dot\xi=(x^2-x^2y^2-xy+xsin(x+y)+ysiny)/\xi$
Maggiorazione 1
$(x+-y)^2 gt= 0 rarr x^2+y^2 gt= +-2xy rarr$
$rarr 2|xy| lt= x^2+y^2$
Maggiorazione 2
$|siny| lt= |y| rarr |y||siny| lt= |y|^2 rarr$
$rarr |ysiny| lt= y^2$
Maggiorazione 3
$|sin(x+y)| lt= |x+y| rarr |x||sin(x+y)| lt= |x||x+y| rarr |xsin(x+y)| lt= |x^2+xy| rarr$
$rarr |xsin(x+y)| lt= x^2+|xy|$
Maggiorazione finale
$|x^2-x^2y^2-xy+xsin(x+y)+ysiny| lt=$
$lt= x^2+x^2y^2+|xy|+|xsin(x+y)|+|ysiny| lt=$
$lt= x^2+x^2y^2+|xy|+x^2+|xy|+y^2=$
$= 2x^2+x^2y^2+y^2+2|xy| lt=$
$lt= 2x^2+x^2y^2+y^2+x^2+y^2 =$
$= 3x^2+x^2y^2+2y^2$
Riassumendo:
$|x^2-x^2y^2-xy+xsin(x+y)+ysiny| lt= 3x^2+x^2y^2+2y^2$
Caso 1: $|x| lt= 1$
$|x^2-x^2y^2-xy+xsin(x+y)+ysiny| lt= 3(x^2+y^2)+y^2(x^2-1) lt= 3(x^2+y^2)$
Caso 2: $|x| gt 1$
$|x^2-x^2y^2-xy+xsin(x+y)+ysiny| lt= 3x^2+y^2(x^2+2) lt= 3(x^2+y^2)$
In definitiva:
$|x^2-x^2y^2-xy+xsin(x+y)+ysiny| lt= 3(x^2+y^2) rarr$
$|(x^2-x^2y^2-xy+xsin(x+y)+ysiny)/\xi| lt= 3\xi$
Ciao Sergeant Elias, innanzitutto grazie mille per la risposta! Mi è chiaro quasi tutto, non mi è del tutto chiaro il punto in cui distingui due casi
Come mai? Li distingui perché così otteniamo una maggiorazione valida su tutto $\mathbb{R}$ avendo ottenuto la stessa stima per entrambi i casi? Avremmo potuto procedere analogamente considerando invece $|y|\leq1$ e $|y|>1$?
Caso 1: $|x| lt= 1$
$|x^2-x^2y^2-xy+xsin(x+y)+ysiny| lt= 3(x^2+y^2)+y^2(x^2-1) lt= 3(x^2+y^2)$
Caso 2: $|x| gt 1$
$|x^2-x^2y^2-xy+xsin(x+y)+ysiny| lt= 3x^2+y^2(x^2+2) lt= 3(x^2+y^2)$
Come mai? Li distingui perché così otteniamo una maggiorazione valida su tutto $\mathbb{R}$ avendo ottenuto la stessa stima per entrambi i casi? Avremmo potuto procedere analogamente considerando invece $|y|\leq1$ e $|y|>1$?
Ciao Mephlip.
Non sono riuscito a fare di meglio. Se, per concludere, fosse stato necessario distinguere $|y| lt= 1$ e $|y| gt 1$, non sarebbe stato un problema. Come hai giustamente osservato, ciò che importa è che la maggiorazione valga ovunque. In definitiva, non c'è nulla di speciale nei due casi che ho trattato.
Il sistema in esame:
è un sistema autonomo:
in cui i secondi membri non dipendono esplicitamente dal tempo. Per un sistema del genere non è difficile dimostrare il seguente teorema:
In altre parole, le soluzioni possono essere traslate nel tempo. Proprio per questo, nel corso delle dimostrazioni, non si perde in generalità prendendo $t_0=0$. Del resto, almeno formalmente:
e in questa forma la variabile temporale è del tutto scomparsa e le curve integrali dipendono da una sola costante arbitraria.
Si richiede di dimostrare che le soluzioni siano definite per tutti i tempi. Il dominio di una funzione può tranquillamente essere $AA t in RR$ anche se la funzione diverge per $t rarr +-oo$.
Se il teorema vale, certamente. Infatti:
"Mephlip":
... non mi è del tutto chiaro il punto in cui distingui due casi ...
Non sono riuscito a fare di meglio. Se, per concludere, fosse stato necessario distinguere $|y| lt= 1$ e $|y| gt 1$, non sarebbe stato un problema. Come hai giustamente osservato, ciò che importa è che la maggiorazione valga ovunque. In definitiva, non c'è nulla di speciale nei due casi che ho trattato.
"Mephlip":
Posso decidere arbitrariamente la condizione iniziale ...
Il sistema in esame:
$\{(dotx=x-xy^2+sin(x+y)),(doty=-x+siny):}$
è un sistema autonomo:
$\{(dotx=f_1(x,y)),(doty=f_2(x,y)):}$
in cui i secondi membri non dipendono esplicitamente dal tempo. Per un sistema del genere non è difficile dimostrare il seguente teorema:
Ipotesi
$[x=x(t)] ^^ [y=y(t)]$ soluzione
Tesi
$[x=x(t-t_0)] ^^ [y=y(t-t_0)]$ soluzione
In altre parole, le soluzioni possono essere traslate nel tempo. Proprio per questo, nel corso delle dimostrazioni, non si perde in generalità prendendo $t_0=0$. Del resto, almeno formalmente:
$\{(dotx=x-xy^2+sin(x+y)),(doty=-x+siny):} rarr (dy)/(dx)=doty/dotx=(-x+siny)/(x-xy^2+sin(x+y))$
e in questa forma la variabile temporale è del tutto scomparsa e le curve integrali dipendono da una sola costante arbitraria.
"Mephlip":
La soluzione poi non esplode perché ...
Si richiede di dimostrare che le soluzioni siano definite per tutti i tempi. Il dominio di una funzione può tranquillamente essere $AA t in RR$ anche se la funzione diverge per $t rarr +-oo$.
"Mephlip":
... è una conseguenza dell'unicità della soluzione ...
Se il teorema vale, certamente. Infatti:
Ipotesi
$\{(dotx=f_1(x,y)),(doty=f_2(x,y)):} ^^ \{(x(t_0)=x_0),(y(t_0)=y_0):}$
$[f_1 in C^1(RR^2)] ^^ [f_2 in C^1(RR^2)]$
Tesi
$[x=x(t)] ^^ [y=y(t)]$ soluzione unica
Hai letteralmente sviscerato ogni mio dubbio, grazie mille!
Ottimo. 
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