Sistema di equazioni differenziali ordinarie

[stelladinatale1]

Salve a tutti!
Volevo sapere se c'è un metodo per risolvere il seguente sistema di equazioni differenziali:
$\frac{d}{dt}x(t)=-bx(t)y(t)$
$\frac{d}{dt}y(t)=bx(t)y(t)-y(t)$
dobe $b$ è una costante positiva

Risolvendo la prima equazione si ottiene:
$x(t)=e^{-b\int_0^t y(s)ds+c$
ma sostituendo poi nell'espressione di sotto non riesco a ricavarmi $y(t)$

C'è secondo voi un modo?
Grazie

[ostrogoto1]

A occhio questa soluzione funziona, anche se banale.
$ { ( x(t)=0 ),( y(t)=Ae^(-t) ):} $

[ciampax]

Scrivo le equazioni così:
$$\dot{x}=-bxy,\qquad \dot{y}=bxy-y$$
Se penso alla funzione $y$ come dipendente da $x$ posso scrivere
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}=\frac{bxy-y}{-bxy}=-1+\frac{1}{bx}$$
Osserva che questa è una operazione lecita ammettendo che $-bxy\ne 0$, cioè che $x\ne 0,\ y\ne 0$: se invece $x=0$ si ottiene la soluzione di ostrogoto, mentre con $y=0$ si ha $x=c$ una costante.
A questo punto ci siamo ricondotti all'equazione ordinaria
$$y'=-1+\frac{1}{bx}$$
(l'apice rappresenta la derivata rispetto ad $x$) la cui soluzione risulta
$$y(x)=-x+\frac{1}{b}\log|x|+k$$

[stelladinatale1]

Grazie mille a entrambi.
Però non c'è un modo semplice per ricavare le due soluzioni in funzione della variabile $t$. Giusto?

[ciampax]

Non mi pare, ma i linea di massima non ne vedo neanche l'utilità: hai già le curve soluzioni indipendentemente dalla scelta del parametro, comprese quelle particolari.