Sistema di equazioni differenziali lineari
Salve a tutti,
vorrei chiedervi un aiuto per una categoria di esercizi che non so risolvere. Riporto un esempio.
Risolvere il sistema $(dY)/dx=AY$ con
$A=((3,-1,-1),(5,-2,-4),(-4,3,5))$, $Y=((y_1),(y_2),(y_3))$.
Il polinomio caratteristico è:
$|(3-lambda,-1,-1),(5,-2-lambda,-4),(-4,3,5-lambda)|=0 rArr (3-lambda)(-2-lambda)(5-lambda)-15-16+4(2+lambda)+12(3-lambda)+5(5-lambda)=0$
Risolvendo la precedente equazione ottengo un'unica radice, $lambda=2$. Se avessi avuto 3 radici reali distinte lo avrei risolto facilmente, perchè conosco il metodo. Ma in questo caso come ci si deve comportare? E se avessi trovato delle radici complesse?
vorrei chiedervi un aiuto per una categoria di esercizi che non so risolvere. Riporto un esempio.
Risolvere il sistema $(dY)/dx=AY$ con
$A=((3,-1,-1),(5,-2,-4),(-4,3,5))$, $Y=((y_1),(y_2),(y_3))$.
Il polinomio caratteristico è:
$|(3-lambda,-1,-1),(5,-2-lambda,-4),(-4,3,5-lambda)|=0 rArr (3-lambda)(-2-lambda)(5-lambda)-15-16+4(2+lambda)+12(3-lambda)+5(5-lambda)=0$
Risolvendo la precedente equazione ottengo un'unica radice, $lambda=2$. Se avessi avuto 3 radici reali distinte lo avrei risolto facilmente, perchè conosco il metodo. Ma in questo caso come ci si deve comportare? E se avessi trovato delle radici complesse?
Risposte
Il metodo generale prescrive di portare la matrice dei coefficienti a forma normale di Jordan, che però non so se avete fatto. Se no, guarda sul libro Analisi matematica 2 di Pagani - Salsa, cap . 4 (pag. 263 dell'edizione Masson 1991).
Come prima cosa grazie per la risposta. Ho controllato sul Pagani - Salsa e ho trovato un metodo risolutivo. Però penso ce ne sia uno più facile, perché in alcuni esercizi svolti in mio possesso si effettua un ragionamento differente. Prendendo l'esercizio che ho postato per esempio, è riportata la seguente risoluzione:
L'unico autovalore è 2 e $A=2I+N$ dove $N^3=0$, quindi $e^tN=I+tN+1/2t^2N^2$...
Cosa vuol dire tutto ciò? E cos'è N?
Diciamo che il mio dubbio riguarda questo.
L'unico autovalore è 2 e $A=2I+N$ dove $N^3=0$, quindi $e^tN=I+tN+1/2t^2N^2$...
Cosa vuol dire tutto ciò? E cos'è N?
Diciamo che il mio dubbio riguarda questo.
Eh si, sta usando la forma normale di Jordan. Ne sai qualcosa?
So che la soluzioni è del tipo $Y(t)=e^(At)c$ con $c in RR^n$ vettore arbitrario ma non ho capito come si fa a trovarla.
Non ci siamo capiti, ripeto la domanda: mai sentito parlare di forma normale di Jordan?
No
E allora lascia stare questo metodo risolutivo con la matrice \(N\). Usa la tecnica del libro di Pagani e Salsa.
Ok, grazie.
Comunque se sei curioso, sta usando la teoria spiegata qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentia ... otent_case
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentia ... otent_case
Grazie 
. La spiegazione che hai linkato è chiarissima.
. La spiegazione che hai linkato è chiarissima.
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