Sistema di equazioni differenziali, calcolo delle varietà centrali, stabili e instabili.
Salve, sto studiando per un esame di Teoria e Sviluppo dei processi chimici nella quale, tra i vari argomenti, viene trattatala risoluzione dei sistemi di equazioni differenziali e il calcolo delle varietà centrali, stabili e instabili.
C'è una cosa che non riesco a capire, e cercherò di spiegarvelo attraverso un esercizio d'esame:
$ { ( dot(x)= xy-xy^2 ),( dot(y)= yz-yz^2 ),( dot(z)= -z+x^2+y^2 ):} $
Linearizzando dovrei ottenere:
$( ( dot(x) ),( dot(y) ),( dot(z) ) ) =( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) *( ( x ),( y),( z) )+( ( xz-xy^2 ),( yz-yx^2 ),( x^2 +y^2) ) $
A questo punto avrei una varietà centrale di dimensione 2, una varietà stabile di dimensione 1 e nessuna varietà instabile.
Ora l'esercizio mi chiede di calcolare tutte queste varietà. trovando delle equazioni tali che:
$W^srarr { x=h(z ), y=h(z ):}$
e
$W^c rarr x=h(x,y)$
La mia difficoltà nasce dal fatto che dovrei ipotizzare il polinomio,per esempio nel caso della varietà centrale h(x,y) con dei parametri aplha, beta, ecc... che posso conoscere attraverso l'applicazione del principio di identità dei polinomi. Il problema è che non so come impostare questo polinomio per trovarmi le varietà.
Non so come viene chiamato questo processo, giuro che sono completamente spaesato al riguardo, e spero sia chiara la mia richiesta. Eventualmente mi rendo disponibile a postarvi un esempio.
C'è una cosa che non riesco a capire, e cercherò di spiegarvelo attraverso un esercizio d'esame:
$ { ( dot(x)= xy-xy^2 ),( dot(y)= yz-yz^2 ),( dot(z)= -z+x^2+y^2 ):} $
Linearizzando dovrei ottenere:
$( ( dot(x) ),( dot(y) ),( dot(z) ) ) =( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) *( ( x ),( y),( z) )+( ( xz-xy^2 ),( yz-yx^2 ),( x^2 +y^2) ) $
A questo punto avrei una varietà centrale di dimensione 2, una varietà stabile di dimensione 1 e nessuna varietà instabile.
Ora l'esercizio mi chiede di calcolare tutte queste varietà. trovando delle equazioni tali che:
$W^srarr { x=h(z ), y=h(z ):}$
e
$W^c rarr x=h(x,y)$
La mia difficoltà nasce dal fatto che dovrei ipotizzare il polinomio,per esempio nel caso della varietà centrale h(x,y) con dei parametri aplha, beta, ecc... che posso conoscere attraverso l'applicazione del principio di identità dei polinomi. Il problema è che non so come impostare questo polinomio per trovarmi le varietà.
Non so come viene chiamato questo processo, giuro che sono completamente spaesato al riguardo, e spero sia chiara la mia richiesta. Eventualmente mi rendo disponibile a postarvi un esempio.
Risposte
[xdom="Raptorista"]Sposto nella sezione corretta![/xdom]
Va bene! Grazie mille e scusa per l'errore!
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