Sistema di equazioni differenziali

[enigmagame]

Ciao a tutti...
provo a postare un pò di esercizi per vedere se sono corretti...

- Determinare la soluzione generale del sistema di equazioni differenziali
${(x' - x = e^t),(y' - x -y = 0):}$

Dopo opportuni cambi ottengo un equazione differenziale di secondo grado:
${(y'' -2y' +y = e^t),(x = y' -y):}$

e giungo alla soluzione:

$y(t) = 1/2t^2e^t + C1e^t + C2te^t$
$x(t) = te^t + C2e^t$

E' corretto? Grazie...

[cavallipurosangue]

Mi sembra che nella soluzione in x ci sia un $1/2t^2e^t$ di troppo...

[enigmagame]

Sisi mi è sfuggito... poi posto altri esercizi. Grazie

[enigmagame]

-Determinare la soluzione generale del sistema di equazioni differenziali
${(x' -3x -2y = 0),(y' -x -4y = e^(5t)):}$

Ottengo un equazione differenziale di secondo grado:

${(x'' -7x' +10x = 2e^(5t)),(y = (x' - 3x)/2):}$

Soluzione:

$x(t) = 2/3te^(5t) + C1e^(5t) + C2e^(2t)$
$y(t) = C1e^(5t) - 1/2C2e^(2t) + 2/3te^(5t) + 1/3e^(5t)$

[Sk_Anonymous]

Riesci a risolvere anche i sistemi di 3 o più equazioni di questo tipo ?

[enigmagame]

Non ho mai provato... prova a postarne uno...!!
L'esercizio sopra è corretto??
Ciao...

[enigmagame]

Altro esercizio...

${(x' +x -3y = 0),(y' -2x +6y = e^(-7t)):}$

Ottengo...

${(x'' +7x' = 3e^(-7t)),(y = (x' - x)/3):}$

Con soluzioni:

$x(t) = -3/7te^(-7t) + C2e^(-7t)$
$y(t) = -2C2e^(-7t) -1/7e^(-7t) +6/7te^(-7t)$

Giusto?

[enigmagame]

In questo esercizio:
${(x' -3x -6y = 3t),(y' -x -2y = 0):}$
Che diventa:
${(y'' -5y' = 3t),(x = y' -2y):}$

Ottengo come soluzione dell'omogenea associata: $yh(t) = C1e^(5t) + C2$

Ora, come devo operare per trovare la particolare, avendo un $3t$?

Grazie...

[cavallipurosangue]

Mi sa che dovresti provare soluzioni del tipo: $\bar{y}=kt+h$ con $k,h$ costanti.

[Sk_Anonymous]

Non credo che sia questa la sostituzione giusta ... dovresti provare le funzioni y = a t^2 + bt +c ... c non riesci a determinarla ma comq la puoi includere nella C2 dell'omogenea che hai già trovato

[Sk_Anonymous]

Spiegato un po' meglio ... visto che 3t = e^0 3t e e^0 è soluzione dell'equazione omogenea le soluzioni particolari si cercano tra le fuunzioni del tipo y=t(at+b) dove at+b è un polinomio con lo stesso grado di 3t

[cavallipurosangue]

Ah non mi ero accorto che era anche soluzione, allora ovviamente ha ragione il nostro amico poco sopra...

[enigmagame]

Ehm ciao... ritorno su questo vecchio post!
Alla fine non ho conferma dei risultati che ho ottenuto...
Voi che soluzione particolare mettereste?