Sistema di equazioni differenziali
Abbiamo il seguente sistema di equazioni differenziali:
$$
\begin{cases} \frac{dx}{dt}=-x+xy\\
\frac{dy}{dt}=-2y-x^2\\
\end{cases}
$$
Dobbiamo mostrare che le soluzioni massimali sono definite su tutto $\mathbb{R}$ e che
$$\lim_{t\rightarrow+\infty}(x(t),y(t))=(0,0).$$
Inoltre se $(x(0),y(0))\ne(0,0)$ si ha $(x(t),y(t))\ne(0,0)$ per ogni $t\in\mathbb{R}$.
Mi potete spiegare come si deve ragionare per risolvere un problema del genere, soprattutto il primo punto. Per il secondo credo basti notare che la funzione $(x(t),y(t))=(0,0)$ è soluzione del problema con dato iniziale $(x(0),y(0))=(0,0)$, e per l'unicità ($f(x,y,t)=(-x+xy,-2y-x^2)$ è di classe $C^1(\mathbb{R})$) si ha che nessun altra soluzione può intersecare questa.
$$
\begin{cases} \frac{dx}{dt}=-x+xy\\
\frac{dy}{dt}=-2y-x^2\\
\end{cases}
$$
Dobbiamo mostrare che le soluzioni massimali sono definite su tutto $\mathbb{R}$ e che
$$\lim_{t\rightarrow+\infty}(x(t),y(t))=(0,0).$$
Inoltre se $(x(0),y(0))\ne(0,0)$ si ha $(x(t),y(t))\ne(0,0)$ per ogni $t\in\mathbb{R}$.
Mi potete spiegare come si deve ragionare per risolvere un problema del genere, soprattutto il primo punto. Per il secondo credo basti notare che la funzione $(x(t),y(t))=(0,0)$ è soluzione del problema con dato iniziale $(x(0),y(0))=(0,0)$, e per l'unicità ($f(x,y,t)=(-x+xy,-2y-x^2)$ è di classe $C^1(\mathbb{R})$) si ha che nessun altra soluzione può intersecare questa.
Risposte
Up
Up... Nessuno che riesca a darmi una mano?
UNA IDEA: Poni \[
f:=x^2+y^2.\]
Studia \(\frac{df}{dt}= -2x^2-4y^2\le 0\). Questo ti dice che la distanza dall'origine è decrescente. Restano un po' di cose da dimostrare ma questo è un passo avanti.
f:=x^2+y^2.\]
Studia \(\frac{df}{dt}= -2x^2-4y^2\le 0\). Questo ti dice che la distanza dall'origine è decrescente. Restano un po' di cose da dimostrare ma questo è un passo avanti.
IDEA AGGIUNTIVA: Nota che
\[
\frac{df}{dt}=-2f-2y^2\le -2f, \]
e quindi,
\[
f(t)\le f_0e^{-2t}...\]
\[
\frac{df}{dt}=-2f-2y^2\le -2f, \]
e quindi,
\[
f(t)\le f_0e^{-2t}...\]
Grazie mille dissonance!
Scrivo brevemente:
$0\le|x(t)|\le(x^2(t)+y^2(t)) ^{1/2}\le\sqrt {f_0} e^{-t} $($f_0$ è una costante determinata dalle condizioni iniziali).
Analogamente la minorazione sopra vale per $y(t)$.
Innanzitutto si può mostrare che la funzione$(x(t),y(t))$ è definita globalmente, non potendo "esplodere in norma" in un punto finito, poiché limitata sugli insiemi finiti, e passando al limite viene che tale limite è necessariamente nullo per confronto. Dovrebbe andare?
Mentre il punto (b) è giusto come avevo detto io? Ovvero per le ipotesi di esistenza e unicità?
Scrivo brevemente:
$0\le|x(t)|\le(x^2(t)+y^2(t)) ^{1/2}\le\sqrt {f_0} e^{-t} $($f_0$ è una costante determinata dalle condizioni iniziali).
Analogamente la minorazione sopra vale per $y(t)$.
Innanzitutto si può mostrare che la funzione$(x(t),y(t))$ è definita globalmente, non potendo "esplodere in norma" in un punto finito, poiché limitata sugli insiemi finiti, e passando al limite viene che tale limite è necessariamente nullo per confronto. Dovrebbe andare?
Mentre il punto (b) è giusto come avevo detto io? Ovvero per le ipotesi di esistenza e unicità?
Il secondo va bene. Il primo, resta da dimostrare che la soluzione è globale. Quel discorso di esplodere in norma, si, ok, molto bla bla bla ma sarebbe meglio mostrare qualche formula.
Mostra una bella stima della distanza dall'origine, così mi convinco e smetto di fare il rompipalle.
Mostra una bella stima della distanza dall'origine, così mi convinco e smetto di fare il rompipalle.
La stima considerando l'insieme $[-r, r] $ con $r>0$ è $\sqrt{f_0}e^r$. Da cui posso prolungare l'insieme fino a tutto $\mathbb{R} $ (?).
È da tanto che non faccio esercizi di questo tipo, sono un po' arrugginito.
È da tanto che non faccio esercizi di questo tipo, sono un po' arrugginito.
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