Sistema di equazioni differenziali
Salve,
ho dei problemi nello svolgere questo esercizio, sia nel applicare il teorema di esistenza ed unicità del problema di Cauchy, sia nella linearizzazione del problema.
E' dato il seguente sistema differenziale:
$\{(x^{\prime}(t) = x(t) - sin(y(t))),(y^{\prime}(t) = x(t) - cos(y(t))),(x(0) = π),(y(0) = π):}$
1) stabilire se esiste un unica soluzione del sistema dato e se tale soluzione è globale.
2) scrivere il problema linearizzato e determinare tutte le soluzioni
Qualcuno può aiutarmi??
Grazie mille in anticipo
ho dei problemi nello svolgere questo esercizio, sia nel applicare il teorema di esistenza ed unicità del problema di Cauchy, sia nella linearizzazione del problema.
E' dato il seguente sistema differenziale:
$\{(x^{\prime}(t) = x(t) - sin(y(t))),(y^{\prime}(t) = x(t) - cos(y(t))),(x(0) = π),(y(0) = π):}$
1) stabilire se esiste un unica soluzione del sistema dato e se tale soluzione è globale.
2) scrivere il problema linearizzato e determinare tutte le soluzioni
Qualcuno può aiutarmi??
Grazie mille in anticipo
Risposte
Beh, in cosa hai difficoltà?
Comincia a scrivere il tuo PdC in forma vettoriale:
\[
\begin{cases}
\mathbf{x}^\prime (t) = \mathbf{f} \Big( t,\mathbf{x}(t)\Big)\\
\mathbf{x} (0) = (\pi, \pi)
\end{cases}
\]
e vedi un po' quali sono le proprietà del secondo membro $\mathbf{f}(t,\mathbf{x})$; da ciò deduci qualcosa circa l'esistenza e l'unicità (locale e globale) della soluzione.
Prova!
Comincia a scrivere il tuo PdC in forma vettoriale:
\[
\begin{cases}
\mathbf{x}^\prime (t) = \mathbf{f} \Big( t,\mathbf{x}(t)\Big)\\
\mathbf{x} (0) = (\pi, \pi)
\end{cases}
\]
e vedi un po' quali sono le proprietà del secondo membro $\mathbf{f}(t,\mathbf{x})$; da ciò deduci qualcosa circa l'esistenza e l'unicità (locale e globale) della soluzione.
Prova!
Mi dispiace ma proprio non so dove andare a sbattere la testa 
Intendevi di scrivere il sistema così:
$\{(x^{\prime}(t) = y'(t) + cos(y(t)) - sin(y(t))),(x(0) = π),(y(0) = π):}$
Poi però cosa dovrei fare?
Grazie ancora
Intendevi di scrivere il sistema così:
$\{(x^{\prime}(t) = y'(t) + cos(y(t)) - sin(y(t))),(x(0) = π),(y(0) = π):}$
Poi però cosa dovrei fare?
Grazie ancora
No... Hai un libro di riferimento?
Ci dai dato un'occhiata?
Ci dai dato un'occhiata?
Mi dispiace ma non trovo tanto materiale su questa forma di sistemi di equazioni differenziali. Conosco modi e teoria di risoluzione per quelli presentati con un sistema di $Y'1(x)$ e $Y'2(x)$. In più mi mette in difficoltà il fatto che la $y(x)$ sia nell'argomento del $sin$ e del $cos$.
Possibile che un banalissimo cambiamento di notazione non ti faccia vedere che è la stessa cosa?
La variabile indipendente si chiama $t$, invece che $x$, e le funzioni incognite si chiamano $x(t)$ ed $y(t)$, invece che $y_1(t)$ ed $y_2(t)$, ma è sempre la stessa cosa.
Se proprio ti crea problemi, puoi rifarti alle notazioni cui sei abituato e riscrivere il sistema come:
\[
\begin{cases}
y_1^\prime (x) = y_1(x) - \sin y_2(x)\\
y_2^\prime (x) = y_1(x) - \cos y_2(x)\\
y_1(0) = \pi\\
y_2(0) = \pi
\end{cases}\; \ldots
\]
Ora sai come muoverti?
La variabile indipendente si chiama $t$, invece che $x$, e le funzioni incognite si chiamano $x(t)$ ed $y(t)$, invece che $y_1(t)$ ed $y_2(t)$, ma è sempre la stessa cosa.
Se proprio ti crea problemi, puoi rifarti alle notazioni cui sei abituato e riscrivere il sistema come:
\[
\begin{cases}
y_1^\prime (x) = y_1(x) - \sin y_2(x)\\
y_2^\prime (x) = y_1(x) - \cos y_2(x)\\
y_1(0) = \pi\\
y_2(0) = \pi
\end{cases}\; \ldots
\]
Ora sai come muoverti?
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