Sistema di equazioni differenziali
Salve a tutti, ho questo sistema:
$ ( ( dot(x) ),( dot(y) ),( dot(z) ) )= ( ( 1 , 0 , a ),( 1/2 , 1 , 1 ),( 2 , -2a , 1 ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) $
Ho calcolato gli autovalori della matrice per vedere quando è diagonalizzabile e ne ho trovato solo 1,
$ lambda =1-a^(2/3) $ ,
quando calcolo gli autovettori trovo
$ a=0rArr v=(0,t,0) $
$ a!= 0rArr v=(0,0,0) $ .
Ho sbagliato qualcosa? altrimenti, come trovo la soluzione?
$ ( ( dot(x) ),( dot(y) ),( dot(z) ) )= ( ( 1 , 0 , a ),( 1/2 , 1 , 1 ),( 2 , -2a , 1 ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) $
Ho calcolato gli autovalori della matrice per vedere quando è diagonalizzabile e ne ho trovato solo 1,
$ lambda =1-a^(2/3) $ ,
quando calcolo gli autovettori trovo
$ a=0rArr v=(0,t,0) $
$ a!= 0rArr v=(0,0,0) $ .
Ho sbagliato qualcosa? altrimenti, come trovo la soluzione?
Risposte
Per \(a\neq 0\) la matrice ha tre autovalori, uno reale \(\lambda_1 = 1 - a^{\frac{2}{3}}\) e due complessi coniugati \(\lambda_{2,3} = 1 + \frac{1}{2} a^{\frac{2}{3}} \pm \imath \frac{\sqrt{3}}{2} a^{\frac{2}{3}}\), e dunque è diagonalizzabile sui complessi (ma non sui reali). Gli autovalori complessi si gestiscono come illustrato su un qualsiasi testo.
Per \(a=0\) c'è un unico autovalore, cioè \(\lambda=1\), di molteplicità algebrica \(3\) e molteplicità geometrica \(1\) (se no vedo male).
Per \(a=0\) c'è un unico autovalore, cioè \(\lambda=1\), di molteplicità algebrica \(3\) e molteplicità geometrica \(1\) (se no vedo male).
Ti dispiacerebbe dirmi come hai trovato le due soluzioni complesse? So che un'equazione di terzo grado deve avere tre soluzioni ma applicando la regola generale, sostituendo x = y + 1 , ottengo
$ y^3+a^2=0 $ .
Se fosse di secondo grado avrei due soluzioni perchè esistono due numeri che elevati al quadrato danno lo stesso numero, se questo è positivo i due numeri sono reali, se è negativo sono complessi coniugati.
Che ragionamento devo seguire quando applico la radice cubica a un numero?
$ y^3+a^2=0 $ .
Se fosse di secondo grado avrei due soluzioni perchè esistono due numeri che elevati al quadrato danno lo stesso numero, se questo è positivo i due numeri sono reali, se è negativo sono complessi coniugati.
Che ragionamento devo seguire quando applico la radice cubica a un numero?
Il polinomio caratteristico è:
\[
(1-\lambda)^3 - a^2\; .
\]
Se lo consideri come polinomio in campo complesso esso ha come radici i tre numeri complessi \(\lambda_{1,2,3}\) che si ottengono prendendo le tre determinazioni della radici cubica complessa nella seguente formula:
\[
\lambda = 1 - \sqrt[3]{a^2}\; .
\]
Dato che \(a^2\) è reale, le tre radici cubiche distinte di \(a^2\) si ottengono moltiplicando la radice cubica reale \(a^{\frac{2}{3}}\) per le tre radici cubiche complesse distinte \(\varepsilon_0\), \(\varepsilon_1\) e \(\varepsilon_2\) dell'unità, cioé:
\[
\begin{split}
\sqrt[3]{a^2} &= a^{\frac{2}{3}}\ \varepsilon_k \\
&= a^{\frac{2}{3}}\ \left( \cos \frac{2k\pi}{3} +\imath\ \sin \frac{2k\pi}{3}\right)\qquad \text{, con } k=0,1,2\; ;
\end{split}
\]
conseguentemente:
\[
\begin{split}
\lambda_1 &= 1 - a^{\frac{2}{3}}\ \left( \cos 0 +\imath\ \sin 0\right) \\
&= 1 - a^{\frac{2}{3}}\\
\lambda_2 &= 1 - a^{\frac{2}{3}}\ \left( \cos \frac{2\pi}{3} +\imath\ \sin \frac{2\pi}{3}\right) \\
&= 1 - a^{\frac{2}{3}}\ \left( -\frac{1}{2} + \imath\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
\lambda_3 &= 1 - a^{\frac{2}{3}}\ \left( \cos \frac{4\pi}{3} +\imath\ \sin \frac{4\pi}{3}\right) \\
&= 1 - a^{\frac{2}{3}}\ \left( -\frac{1}{2} - \imath\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\; .
\end{split}
\]
\[
(1-\lambda)^3 - a^2\; .
\]
Se lo consideri come polinomio in campo complesso esso ha come radici i tre numeri complessi \(\lambda_{1,2,3}\) che si ottengono prendendo le tre determinazioni della radici cubica complessa nella seguente formula:
\[
\lambda = 1 - \sqrt[3]{a^2}\; .
\]
Dato che \(a^2\) è reale, le tre radici cubiche distinte di \(a^2\) si ottengono moltiplicando la radice cubica reale \(a^{\frac{2}{3}}\) per le tre radici cubiche complesse distinte \(\varepsilon_0\), \(\varepsilon_1\) e \(\varepsilon_2\) dell'unità, cioé:
\[
\begin{split}
\sqrt[3]{a^2} &= a^{\frac{2}{3}}\ \varepsilon_k \\
&= a^{\frac{2}{3}}\ \left( \cos \frac{2k\pi}{3} +\imath\ \sin \frac{2k\pi}{3}\right)\qquad \text{, con } k=0,1,2\; ;
\end{split}
\]
conseguentemente:
\[
\begin{split}
\lambda_1 &= 1 - a^{\frac{2}{3}}\ \left( \cos 0 +\imath\ \sin 0\right) \\
&= 1 - a^{\frac{2}{3}}\\
\lambda_2 &= 1 - a^{\frac{2}{3}}\ \left( \cos \frac{2\pi}{3} +\imath\ \sin \frac{2\pi}{3}\right) \\
&= 1 - a^{\frac{2}{3}}\ \left( -\frac{1}{2} + \imath\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
\lambda_3 &= 1 - a^{\frac{2}{3}}\ \left( \cos \frac{4\pi}{3} +\imath\ \sin \frac{4\pi}{3}\right) \\
&= 1 - a^{\frac{2}{3}}\ \left( -\frac{1}{2} - \imath\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\; .
\end{split}
\]
Grazie mille per la pazienza, c'è una cosa però che continuo a non capire, perchè bisogna rendere complessa la radice di a, anche se a è reale?
Anche un numero reale positivo ha radici di ordine ($ n>=3 $) complesse, e tu le vuoi tutte, reali e non. Per le radici quadrate I numeri positivi ne hanno due entrambe reali, ma le radici cubiche (o più) sono tre (o più) di cui alcune anche complesse.
Per estrarle sfruttando il fatto che $ a^2 $ è reale positivo e coincide col proprio modulo: $ root(3)(a^2)=root(3)(a^2e^(i2kpi))=root(3)(a^2)e^(i2/3kpi) , k in Z $ che equivale a quello scritto nei posts sopra se osservi che $ 2/3kpi $ è l'argomento del numero e coincide ogni tre valori di $ k $ (gli unici distinti sono $ 0,1,2 $ ad esempio).
Per estrarle sfruttando il fatto che $ a^2 $ è reale positivo e coincide col proprio modulo: $ root(3)(a^2)=root(3)(a^2e^(i2kpi))=root(3)(a^2)e^(i2/3kpi) , k in Z $ che equivale a quello scritto nei posts sopra se osservi che $ 2/3kpi $ è l'argomento del numero e coincide ogni tre valori di $ k $ (gli unici distinti sono $ 0,1,2 $ ad esempio).
Ok penso di aver capito 
Quindi la radice cubica di un numero reale ha sempre una soluzione reale e due complesse coniugate, mentre la radice quadrata ha due soluzioni reali se il numero è positivo e due complesse coniugate se è negativo. Giusto?
Quindi la radice cubica di un numero reale ha sempre una soluzione reale e due complesse coniugate, mentre la radice quadrata ha due soluzioni reali se il numero è positivo e due complesse coniugate se è negativo. Giusto?
"Alfano":
Grazie mille per la pazienza, c'è una cosa però che continuo a non capire, perchè bisogna rendere complessa la radice di a, anche se a è reale?
Perché questo accade anche per le equazioni ordinarie reali: ad esempio, prendi l'equazione \(y^{\prime \prime} (x) + y(x) = 0\); il polinomio caratteristico è \(\lambda^2 + 1\), dunque esso ha le radici complesse \(\lambda_{1,2} = \pm \imath\)... Quindi il passaggio ai numeri complessi è "inevitabile".
Inoltre, dato che l'equazione proposta più sopra si può scrivere canonicamente come sistema di due equazioni del primo ordine nella forma:
\[
\left\{ \begin{split} u^\prime (x) &= - y(x) \\ y^\prime (x) &= u(x)\end{split}\right.
\]
con matrice associata:
\[
A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}
\]
vedi da te che gli autovalori complessi servono e non si possono "accantonare sotto al tappeto".
ok grazie!
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