Sistema di equazioni differenziali
Qualcuno saprebbe risolvere l'esercizio 3 di questo foglio di esercizi?
http://www.math.unipd.it/~monti/A2_2013/F9.pdf
Non posso gia concludere che la soluzione é c1 vedendo che la matrice del sistema e dipendente in maniera continua dalla variabile delle funzioni? Quello che mi rende perplesso é che f ha come argomento x ed y.... Qualcuno sa aiutarmi? In realtá il prof non ha mai fatto esercizi sui sistemi... Per la definizione su R io cercherei di provare l'andamento al piu lineare, ma f mi rovina le idee....
http://www.math.unipd.it/~monti/A2_2013/F9.pdf
Non posso gia concludere che la soluzione é c1 vedendo che la matrice del sistema e dipendente in maniera continua dalla variabile delle funzioni? Quello che mi rende perplesso é che f ha come argomento x ed y.... Qualcuno sa aiutarmi? In realtá il prof non ha mai fatto esercizi sui sistemi... Per la definizione su R io cercherei di provare l'andamento al piu lineare, ma f mi rovina le idee....
Risposte
Ho aperto per errore 2 post uguali. Chiudere per favore e scusate.
Sarei interessato anche io ad uno spunto per risolvere quell'esercizio...
Dannazione quella e una frase di candilera! Comunque io sono arrivato a riscrivere il problema di couchy nella forma
$ { (vartheta(t)=1/2t+pi/2),( r'(t)=r*f(r^2(t)) ),( r(0)=x_0
):} $
E che come spiegavo sopra non so se gia da subito potevo concludere che si trattava di un sistema con un unica soluzione $ C^1 $ dato che la matrice del sistema lineare dipende in maniera continua da t, e l'unica cosa da provare sia l'estendibilitá ad $ RR$
$ { (vartheta(t)=1/2t+pi/2),( r'(t)=r*f(r^2(t)) ),( r(0)=x_0
):} $
E che come spiegavo sopra non so se gia da subito potevo concludere che si trattava di un sistema con un unica soluzione $ C^1 $ dato che la matrice del sistema lineare dipende in maniera continua da t, e l'unica cosa da provare sia l'estendibilitá ad $ RR$
Uno spunto.
Posto \(R(t):=r^2(t)\), ove \(r(t)\) è il modulo di \((x(t),y(t))\), passando in polari si trova anzitutto:
\[
\begin{cases}
R^\prime (t) = 2 R(t)\ f(R(t))\\
R(0)=x_0^2
\end{cases}
\]
La funzione \(R^*(t)=1\), per le ipotesi su \(f(R)\), è una soluzione stazionaria per la EDO; d'altra parte, anche \(R_* (t)=0\) è una soluzione stazionaria della EDO.
Ora, la soluzione massimale \(R(t;x_0^2)\) del problema è \(C^2\) ed assume valori compresi strettamente tra \(0\) ed \(1\): infatti, valendo il teorema di unicità, la \(R(t;x_0^2)\) non può toccare il grafico di \(R^*(t)\) né quello di \(R_*(t)\) e dunque \(R(t;x_0^2)\) deve stare dalla stessa parte rispetto a \(0\) e rispetto a \(1\) del dato iniziale; dato che \(0
Posto \(R(t):=r^2(t)\), ove \(r(t)\) è il modulo di \((x(t),y(t))\), passando in polari si trova anzitutto:
\[
\begin{cases}
R^\prime (t) = 2 R(t)\ f(R(t))\\
R(0)=x_0^2
\end{cases}
\]
La funzione \(R^*(t)=1\), per le ipotesi su \(f(R)\), è una soluzione stazionaria per la EDO; d'altra parte, anche \(R_* (t)=0\) è una soluzione stazionaria della EDO.
Ora, la soluzione massimale \(R(t;x_0^2)\) del problema è \(C^2\) ed assume valori compresi strettamente tra \(0\) ed \(1\): infatti, valendo il teorema di unicità, la \(R(t;x_0^2)\) non può toccare il grafico di \(R^*(t)\) né quello di \(R_*(t)\) e dunque \(R(t;x_0^2)\) deve stare dalla stessa parte rispetto a \(0\) e rispetto a \(1\) del dato iniziale; dato che \(0
Si gugo avevo immaginato che la condizione f(1)=0 servisse a limitare la funzione risultato dentro il cerchio unitario ma permettimi di chiederti alcuni chiarimenti sul tuo ragionamento. Perché se toccasse le due soluzioni stazionarie mancherebbe l'unicitá? Tutto il resto mi é chiaro. Grazie mille comunque 
Beh, è un fatto standard.
Innanzitutto, nota che l'ipotesi \(f\in C^1\) assicura che \(2 R\ f(R)\) è pure \(C^1\); dunque puoi garantire l'unicità locale della soluzione per ogni stato iniziale \((t_0,R_0)\).
Ora, detta \(R(t;x_0^2)\) la tua soluzione massimale, supponi per assurdo che esista qualche \(t>0\) tale che \(R(t;x_0^2)=1\); allora, posto:
\[
t_0:=\inf \{ t>0:\ R(t;x_0^2)=1\}\; ,
\]
hai \(R(t_0;x_0^2)=1\) e però \(R(t;x_0^2)<1\) per \(t
\[
\begin{cases}
R^\prime (t)= 2 R(t)\ f(R(t))\\
R(t_0)=1
\end{cases}
\]
il quale ha soluzione unica \(R^*(t)=1\) intorno a \(t_0\) (per quanto detto all'inizio sull'unicità locale); quindi dovrebbe essere \(R(t;x_0^2)=1\) anche per \(t\in [t_0-\delta ,t_0[\) (qui \(\delta>0\) è un valore opportunamente piccolo), il che è assurdo per quanto detto sopra.
Ovviamente, la stessa cosa vale per \(0\).
Tuttavia, questa è una proprietà valida del tutto in generale: quando sei in regime di unicità locale, i grafici delle soluzioni non stazionarie non possono attraversare quelli delle soluzioni stazionarie.
Innanzitutto, nota che l'ipotesi \(f\in C^1\) assicura che \(2 R\ f(R)\) è pure \(C^1\); dunque puoi garantire l'unicità locale della soluzione per ogni stato iniziale \((t_0,R_0)\).
Ora, detta \(R(t;x_0^2)\) la tua soluzione massimale, supponi per assurdo che esista qualche \(t>0\) tale che \(R(t;x_0^2)=1\); allora, posto:
\[
t_0:=\inf \{ t>0:\ R(t;x_0^2)=1\}\; ,
\]
hai \(R(t_0;x_0^2)=1\) e però \(R(t;x_0^2)<1\) per \(t
\[
\begin{cases}
R^\prime (t)= 2 R(t)\ f(R(t))\\
R(t_0)=1
\end{cases}
\]
il quale ha soluzione unica \(R^*(t)=1\) intorno a \(t_0\) (per quanto detto all'inizio sull'unicità locale); quindi dovrebbe essere \(R(t;x_0^2)=1\) anche per \(t\in [t_0-\delta ,t_0[\) (qui \(\delta>0\) è un valore opportunamente piccolo), il che è assurdo per quanto detto sopra.
Ovviamente, la stessa cosa vale per \(0\).
Tuttavia, questa è una proprietà valida del tutto in generale: quando sei in regime di unicità locale, i grafici delle soluzioni non stazionarie non possono attraversare quelli delle soluzioni stazionarie.
Ok ora ci sono. Diciamo che siamo alle prime armi con le EDO e nonostante non ci abbiano mai fatto esempi pratici di come risolvere un sistema ce li troviamo sul groppone. In ogni caso fammi capire: questo e un fatto generale, giusto? Mi pare che l'argomentazione che hai usato non sia specifica per il nostro problema, ovvero: se ci sono soluzioni banali la soluzione non banale non le puó intersecare perche altrimenti sarebbe essa stessa banale, giusto? Oppure ci sono dei controesempi?
@ And_And92: Infatti, la cosa vale in generale, come ho aggiunto in coda al post precedente. 
Aggiunta all'esercizio: "Si supponga che \(f(R)<0\) per \(R\in]0,1[\) e si provi che ogni soluzione del sistema tende a \(o=(0,0)\) per \(t\to \infty\)".
Aggiunta all'esercizio: "Si supponga che \(f(R)<0\) per \(R\in]0,1[\) e si provi che ogni soluzione del sistema tende a \(o=(0,0)\) per \(t\to \infty\)".
In tal caso é chiaro che la funzione raggio e monotona decrescente. L'unica cosa da provare é che il limite é 0. Per assurdo tale limite sia L>0. Allora $ L=lim _(t->oo) R= lim _(t->oo)int_0^x 2Rf(R)dt<=0 $ assurdo poiche L era definito come limite di una funzione positiva. Dunque il limite non puó essere che 0.
Ringrazio pur'io. Domani rileggerò con calma, ma mi sembra tutto ragionevole.
?
"And_And92":
Dannazione quella e una frase di candilera! [...]
?
Intendo la frase che hai scritto sotto: la soluzione dell'ingegnere.... E in un tema d'esame della vecchia matematica 3.. Ah grazie Gugo 
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