Sistema di equazioni differenziali

bestiedda2
buonasera a tutti

Ho un problema riguardante la soluzione di un particolare tipo di sistemi di equazioni differenziali: volevo sapere se esiste un metodo generale per determinare le soluzioni

il problema è: trovare le equazioni del seguente sistema di equazioni differenziali:

\(\displaystyle A \left (\matrix{\ddot{q_1} \\ \vdots \\ \ddot{q_n} } \right ) + B \left (\matrix{\dot{q_1} \\ \vdots \\ \dot{q_n} } \right ) + C \left (\matrix{{q_1} \\ \vdots \\ {q_n} } \right ) = \left (\matrix{0 \\ \vdots \\ 0 } \right ) \)

dove le matrici \(\displaystyle A,B,C \) sono matrici quadrate \(\displaystyle n\times n \) . Qual è il procedimento generale?

Risposte
gugo82
Provo a mostrarti il caso \(n=2\), il caso generale essendo del tutto analogo.

Il sistema è:
\[
A\ \begin{pmatrix} \ddot{q}_1 \\ \ddot{q}_2 \end{pmatrix} + B\ \begin{pmatrix} \dot{q}_1 \\ \dot{q}_2 \end{pmatrix} + C\ \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
in cui supponi \(A,B,C\) matrici \(2\times 2\) ad entrate costanti, la prima delle quali invertibile (altrimenti il problema non è ben posto); moltiplicando a destra per \(A^{-1}\), il sistema si riscrive in forma normale:
\[
\begin{pmatrix} \ddot{q}_1 \\ \ddot{q}_2 \end{pmatrix} + \underbrace{A^{-1}B}_{=:D}\ \begin{pmatrix} \dot{q}_1 \\ \dot{q}_2 \end{pmatrix} + \underbrace{A^{-1}C}_{=:E}\ \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
ossia:
\[
\begin{cases}
\ddot{q}_1 + d_{11}\ \dot{q}_1 + d_{12}\ \dot{q}_2 + e_{11}\ q_1 + e_{12}\ q_2 =0\\
\ddot{q}_2 + d_{21}\ \dot{q}_1 + d_{22}\ \dot{q}_2 + e_{21}\ q_1 + e_{22}\ q_2 =0\; .
\end{cases}
\]
L'idea è quella di introdurre le variabili ausiliarie \(p_i=\dot{q}_i\) in modo da ridurre il sistema ad un sistema del primo ordine: facendo ciò il sistema precedente si muta in:
\[
\begin{cases}
\dot{q}_1 = p_1 \\
\dot{q}_2 = p_2 \\
\dot{p}_1 + d_{11}\ p_1 + d_{12}\ p_2 + e_{11}\ q_1 + e_{12}\ q_2 =0 \\
\dot{p}_2 + d_{21}\ p_1 + d_{22}\ p_2 + e_{21}\ q_1 + e_{22}\ q_2 =0
\end{cases} \qquad \Leftrightarrow \qquad
\begin{cases}
\dot{q}_1 = \phantom{- e_{11}\ q_1 - e_{12}\ q_2 - d_{11}} p_1\\
\dot{q}_2 = \phantom{- e_{11}\ q_1 - e_{12}\ q_2 - d_{11}\ p_1 - d_{12}} p_2 \\
\dot{p}_1 = - e_{11}\ q_1 - e_{12}\ q_2 - d_{11}\ p_1 - d_{12}\ p_2 \\
\dot{p}_2 = - e_{21}\ q_1 - e_{22}\ q_2 - d_{21}\ p_1 - d_{22}\ p_2
\end{cases}
\]
ossia, in forma matriciale:
\[
\begin{pmatrix} \dot{q}_1 \\ \dot{q}_2 \\ \dot{p}_1 \\ \dot{p}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -e_{11} & -e_{12} & -d_{11} & -d_{12} \\ -e_{21} & -e_{22} & -d_{21} & -d_{22} \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}
\]
o:
\[
\begin{pmatrix} \dot{q}_1 \\ \dot{q}_2 \\ \dot{p}_1 \\ \dot{p}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O & I \\ -A^{-1}\ C & -A^{-1}\ B \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}
\]
in cui l'ultima matrice \(4\times 4\) è "a blocchi", ogni blocco essendo di dimensione \(2\times 2\).
Quest'ultimo problema è un semplice problema del primo ordine, che si risolve con le solite tecniche (autovalori, autovettori, diagonalizzazione, etc...)

bestiedda2
ieri, provandoci da solo, ero arrivato proprio a questo punto. Siccome sono nel caso in cui le tre matrici siano simmetriche e definite positive, posso addirittura utilizzare una base per la quale \(\displaystyle A=I \) e una tra \(\displaystyle B \) e \(\displaystyle C \) è diagonale. Ora, io non ho mai studiato tecniche per la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali del prim'ordine....esiste un metodo diverso da quello delle matrici esponenziali che ho trovato nel mio libro? Soprattutto nel caso di matrici a blocchi così semplici?

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