Sistema di equazioni con funzioni goniometriche e numeri complessi
dato il sistema di equazioni:
$\{( b \ (1+cos(beta))= a \ (sin(beta) \ cos(alpha) + i \ sin(beta) \ sin(alpha)) ),( a \ (1-cos(beta)) = b \ ( sin(beta)
\ cos(alpha) - i \ sin(beta) \ sin(alpha) ) ) , (|a|^2+|b|^2=1):}$
con $a,b in\ CC \ $, e $ \ 0<=alpha<2pi \ , \ 0<=beta<=pi$ (coordinate sferiche)
noto che si tratta di un sistema del tipo:
$\{( a \ r = b \ z ), (b \ r^c = a \ z^{**}), (|a|^2+|b|^2=1):}$
con $ r in\ RR$ , e $z in\ CC$
come pedici l'asterisco indica l'operazione di coniugazione complessa, la $c$ invece indica una sorta di operazione di "coniugazione reale", ovvero intendo che se $r$ è la somma di due numeri reali, allora $r^c$ è la differenza di quegli stessi due numeri reali
così ragionando vado verso una scorciatoia per la risoluzione del sistema? o perdo tempo inutilmente?
$\{( b \ (1+cos(beta))= a \ (sin(beta) \ cos(alpha) + i \ sin(beta) \ sin(alpha)) ),( a \ (1-cos(beta)) = b \ ( sin(beta)
\ cos(alpha) - i \ sin(beta) \ sin(alpha) ) ) , (|a|^2+|b|^2=1):}$
con $a,b in\ CC \ $, e $ \ 0<=alpha<2pi \ , \ 0<=beta<=pi$ (coordinate sferiche)
noto che si tratta di un sistema del tipo:
$\{( a \ r = b \ z ), (b \ r^c = a \ z^{**}), (|a|^2+|b|^2=1):}$
con $ r in\ RR$ , e $z in\ CC$
come pedici l'asterisco indica l'operazione di coniugazione complessa, la $c$ invece indica una sorta di operazione di "coniugazione reale", ovvero intendo che se $r$ è la somma di due numeri reali, allora $r^c$ è la differenza di quegli stessi due numeri reali
così ragionando vado verso una scorciatoia per la risoluzione del sistema? o perdo tempo inutilmente?
Risposte
La "coniugazione reale" non è ben definita. Per esempio, \(2+3=1+4\), quindi \((2+3)^c\) dovrebbe essere uguale a \((1+4)^c\). Ma purtroppo \((2+3)^c=2-3=-1, (1+4)^c=1-4=-3\).
(Hai comunque fatto benissimo a usare la creatività in questo modo. Stavolta non ha funzionato, ma mi è piaciuto il tentativo).
(Hai comunque fatto benissimo a usare la creatività in questo modo. Stavolta non ha funzionato, ma mi è piaciuto il tentativo).
riscrivo il sistema:
${(a=b sin(beta)/(1-cos(beta)) e^(-ialpha)), (b=a sin(beta)/(1+cos(beta)) e^(ialpha)), (|a|^2+|b|^2=1):}$
in seguito mi riferirò sempre a questa forma parlando di prima, seconda, o terza equazione.
scrivo $a$ e $b$ in forma esponenziale:
${(a=rho_a e^(i theta_a)),(b=rho_b e^(i theta_b)):}$
quindi riscrivo le prime due equazioni del sistema:
${(rho_b e^(i theta_b) sin(beta)/(1-cos(beta)) e^(-ialpha)=rho_a e^(i theta_a)), (rho_b e^(i theta_b)=rho_a e^(i theta_a) sin(beta)/(1+cos(beta)) e^(ialpha)):}$
noto che se $k=sin(beta)/(1-cos(beta))$, allora $k^-1=sin(beta)/(1+cos(beta))$ [size=200]*[/size] , quindi:
${(rho_b e^(i (theta_b-theta_a)) k =rho_a e^(ialpha)), (rho_b e^(i (theta_b-theta_a)) k=rho_a e^(ialpha)):}$
da cui $theta_b-theta_a=alpha$, e non essendoci ulteriori vincoli posso fissare $theta_a=0$ e ottenere così $theta_b=alpha$
finora ho utilizzato solamente le prime due equazioni, le quali, in virtù dei risultati ottenuti, posso ora riscrivere come un'unica equazione [size=200]*[/size]:
$rho_b =rho_a/k$
utilizzo ora anche la terza equazione $|a|^2+|b|^2=1 hArr rho_a^2+rho_b^2=1$ e ottengo:
$rho_a^2+(r_a/k)^2=1$
da cui:
$rho_a^2=k^2/(k^2+1)$
essendo stato precedentemente $k$ definito in tal modo $k=sin(beta)/(1-cos(beta))$, ottengo:
$rho_a^2=cos(beta/2)^2$
(otterrei in realtà dovrei dire, immagino che per giungerci ci sia da giocare un po' con le formule trigonometriche, ma data l'ora ormai tarda mi sono arreso e mi sono fatto aiutare dal buon Wolfram per questo passaggio)
essendo $rho_a$ il modulo di un numero complesso, prendo la radice positiva come soluzione:
$rho_a=cos(beta/2)$
lo stesso metodo applicato esplicitando $rho_a$ invece di $rho_b$ conduce a:
$rho_a=sin(beta/2)$
avendo trovato modulo e argomento di a e b, ho risolto il sistema.
sì vero, parlare di di coniugazione reale non ha senso
in due punti della mia soluzione ho inserito un asterisco rosso grande, in quei punti ho notato della simmetria tra le prime due equazioni, ma solo questo penso di poter affermare in tal senso:
le prime due equazioni del sistema costituiscono un sistema di tal tipo:
${(a= \b \ k \ z),(a \ k^-1 = b \ z^{**}):}$
con $a,b,z \in CC$, $k \in RR$, $ |z|=1$
le due equazioni sono quindi uguali a meno della coniugazione complessa eseguita sul termine unitario $z$ (infatti nella soluzione, in particolare nel calcolo dei moduli di $a,b$, ho ricondotto le due equazioni a un'unica equazione)
${(a=b sin(beta)/(1-cos(beta)) e^(-ialpha)), (b=a sin(beta)/(1+cos(beta)) e^(ialpha)), (|a|^2+|b|^2=1):}$
in seguito mi riferirò sempre a questa forma parlando di prima, seconda, o terza equazione.
scrivo $a$ e $b$ in forma esponenziale:
${(a=rho_a e^(i theta_a)),(b=rho_b e^(i theta_b)):}$
quindi riscrivo le prime due equazioni del sistema:
${(rho_b e^(i theta_b) sin(beta)/(1-cos(beta)) e^(-ialpha)=rho_a e^(i theta_a)), (rho_b e^(i theta_b)=rho_a e^(i theta_a) sin(beta)/(1+cos(beta)) e^(ialpha)):}$
noto che se $k=sin(beta)/(1-cos(beta))$, allora $k^-1=sin(beta)/(1+cos(beta))$ [size=200]*[/size] , quindi:
${(rho_b e^(i (theta_b-theta_a)) k =rho_a e^(ialpha)), (rho_b e^(i (theta_b-theta_a)) k=rho_a e^(ialpha)):}$
da cui $theta_b-theta_a=alpha$, e non essendoci ulteriori vincoli posso fissare $theta_a=0$ e ottenere così $theta_b=alpha$
finora ho utilizzato solamente le prime due equazioni, le quali, in virtù dei risultati ottenuti, posso ora riscrivere come un'unica equazione [size=200]*[/size]:
$rho_b =rho_a/k$
utilizzo ora anche la terza equazione $|a|^2+|b|^2=1 hArr rho_a^2+rho_b^2=1$ e ottengo:
$rho_a^2+(r_a/k)^2=1$
da cui:
$rho_a^2=k^2/(k^2+1)$
essendo stato precedentemente $k$ definito in tal modo $k=sin(beta)/(1-cos(beta))$, ottengo:
$rho_a^2=cos(beta/2)^2$
(otterrei in realtà dovrei dire, immagino che per giungerci ci sia da giocare un po' con le formule trigonometriche, ma data l'ora ormai tarda mi sono arreso e mi sono fatto aiutare dal buon Wolfram per questo passaggio)
essendo $rho_a$ il modulo di un numero complesso, prendo la radice positiva come soluzione:
$rho_a=cos(beta/2)$
lo stesso metodo applicato esplicitando $rho_a$ invece di $rho_b$ conduce a:
$rho_a=sin(beta/2)$
avendo trovato modulo e argomento di a e b, ho risolto il sistema.
"dissonance":
La "coniugazione reale" non è ben definita. Per esempio, \(2+3=1+4\), quindi \((2+3)^c\) dovrebbe essere uguale a \((1+4)^c\). Ma purtroppo \((2+3)^c=2-3=-1, (1+4)^c=1-4=-3\).
(Hai comunque fatto benissimo a usare la creatività in questo modo. Stavolta non ha funzionato, ma mi è piaciuto il tentativo).
sì vero, parlare di di coniugazione reale non ha senso
in due punti della mia soluzione ho inserito un asterisco rosso grande, in quei punti ho notato della simmetria tra le prime due equazioni, ma solo questo penso di poter affermare in tal senso:
le prime due equazioni del sistema costituiscono un sistema di tal tipo:
${(a= \b \ k \ z),(a \ k^-1 = b \ z^{**}):}$
con $a,b,z \in CC$, $k \in RR$, $ |z|=1$
le due equazioni sono quindi uguali a meno della coniugazione complessa eseguita sul termine unitario $z$ (infatti nella soluzione, in particolare nel calcolo dei moduli di $a,b$, ho ricondotto le due equazioni a un'unica equazione)
Mi permetto alcune osservazioni:
1) per prima cosa potresti verificare cosa accade se $a=0$ oppure $b=0$ (osserva che in tale situazione, l'altro numero complesso è uno dei seguenti: $\pm 1,\ \pm i$).
2) La prima equazione, per come l'hai semplificata, può essere riscritta al modo seguente:
$$\frac{a}{b} e^{i\alpha}=\frac{\rho_a}{\rho_b}e^{i(\theta_a-\theta_b+\alpha)}=\frac{\sin\beta}{1-\cos\beta}$$
e puoi osservare che il membro destro è reale: pertanto deve essere $\theta_a-\theta_b+\alpha=k\pi$, che ti agevola nel calcolo per determinare i moduli dei due numeri complessi. Stesso ragionamento puoi farlo con la seconda equazione e alla fine ti ritrovi con le seguenti equazioni
$$\frac{\rho_a}{\rho_b}e^{i(\theta_a-\theta_b+\alpha)}=\frac{\sin\beta}{1-\cos\beta}\\ \frac{\rho_b}{\rho_a}e^{-i(\theta_a-\theta_b+\alpha)}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}\\ \rho_a^2+\rho_b^2=1$$
Poiché $e^{ik\pi}=(-1)^k$, il sistema si riscrive come
$$(-1)^k\frac{\rho_a}{\rho_b}=\frac{\sin\beta}{1-\cos\beta}\\ (-1)^k\frac{\rho_b}{\rho_a}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}\\ \rho_a^2+\rho_b^2=1$$
ed è abbastanza immediato osservare che la seconda equazione altro non è che la reciproca della prima (puoi dimostrare da te che $(\sin\beta/(1-\cos\beta))^{-1}=\sin\beta/(1+\cos\beta)$. Ne segue che il sistema si riduce alle seguenti equazioni
$$(-1)^k\frac{\rho_a}{\rho_b}=\frac{\sin\beta}{1-\cos\beta}\\ \rho_a^2+\rho_b^2=1\\ \theta_a-\theta_b+\alpha=k\pi$$
Dalla prima, ricavando $\rho_a$ e sostituendo nella seconda si ottiene il valore per il modulo di $b$ (devi fare un po' di ragionamenti sul fatto che il modulo e positivo e delle possibili scelte di $\beta$
$$\rho_b=\sqrt{\frac{1-\cos\beta}{2}}=\sin\frac{\beta}{2}$$
e pertanto
$$\rho_a=(-1)^k\cos\frac{\beta}{2}$$
e dovendo essere $\rho_a\ge 0$, ne segue (osserva che $\cos\beta/2$ con la scelta fatta per l'intervallo di tale angolo risulta sempre positivo) $k=2n$ (è un numero pari). Questo permette di scrivere la terza relazione come
$$\theta_a-\theta_b+\alpha=2n\pi$$
Hai quindi infinite soluzioni espresse dalle condizioni
$$\rho_a=\cos\frac{\beta}{2},\qquad \rho_b=\sin\frac{\beta}{2},\qquad \theta_a-\theta_b+\alpha=2n\pi$$
1) per prima cosa potresti verificare cosa accade se $a=0$ oppure $b=0$ (osserva che in tale situazione, l'altro numero complesso è uno dei seguenti: $\pm 1,\ \pm i$).
2) La prima equazione, per come l'hai semplificata, può essere riscritta al modo seguente:
$$\frac{a}{b} e^{i\alpha}=\frac{\rho_a}{\rho_b}e^{i(\theta_a-\theta_b+\alpha)}=\frac{\sin\beta}{1-\cos\beta}$$
e puoi osservare che il membro destro è reale: pertanto deve essere $\theta_a-\theta_b+\alpha=k\pi$, che ti agevola nel calcolo per determinare i moduli dei due numeri complessi. Stesso ragionamento puoi farlo con la seconda equazione e alla fine ti ritrovi con le seguenti equazioni
$$\frac{\rho_a}{\rho_b}e^{i(\theta_a-\theta_b+\alpha)}=\frac{\sin\beta}{1-\cos\beta}\\ \frac{\rho_b}{\rho_a}e^{-i(\theta_a-\theta_b+\alpha)}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}\\ \rho_a^2+\rho_b^2=1$$
Poiché $e^{ik\pi}=(-1)^k$, il sistema si riscrive come
$$(-1)^k\frac{\rho_a}{\rho_b}=\frac{\sin\beta}{1-\cos\beta}\\ (-1)^k\frac{\rho_b}{\rho_a}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}\\ \rho_a^2+\rho_b^2=1$$
ed è abbastanza immediato osservare che la seconda equazione altro non è che la reciproca della prima (puoi dimostrare da te che $(\sin\beta/(1-\cos\beta))^{-1}=\sin\beta/(1+\cos\beta)$. Ne segue che il sistema si riduce alle seguenti equazioni
$$(-1)^k\frac{\rho_a}{\rho_b}=\frac{\sin\beta}{1-\cos\beta}\\ \rho_a^2+\rho_b^2=1\\ \theta_a-\theta_b+\alpha=k\pi$$
Dalla prima, ricavando $\rho_a$ e sostituendo nella seconda si ottiene il valore per il modulo di $b$ (devi fare un po' di ragionamenti sul fatto che il modulo e positivo e delle possibili scelte di $\beta$
$$\rho_b=\sqrt{\frac{1-\cos\beta}{2}}=\sin\frac{\beta}{2}$$
e pertanto
$$\rho_a=(-1)^k\cos\frac{\beta}{2}$$
e dovendo essere $\rho_a\ge 0$, ne segue (osserva che $\cos\beta/2$ con la scelta fatta per l'intervallo di tale angolo risulta sempre positivo) $k=2n$ (è un numero pari). Questo permette di scrivere la terza relazione come
$$\theta_a-\theta_b+\alpha=2n\pi$$
Hai quindi infinite soluzioni espresse dalle condizioni
$$\rho_a=\cos\frac{\beta}{2},\qquad \rho_b=\sin\frac{\beta}{2},\qquad \theta_a-\theta_b+\alpha=2n\pi$$
"ciampax":
Mi permetto alcune osservazioni:
sono stato un po' approssimativo nel trattare gli argomenti complessi, grazie per le precisazioni
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