Sistema di equazioni complesse

[angelad97]

Un esercizio mi chiede di trovare LE SOLUZIONI del sistema nel campo complesso:
$ \ { (z^2-$ $\bar z^2=-8i),((1+i)z=(1-i)$ $\bar z) : } $

io pongo $z=a+ib$ e $\bar z=a-ib$
andando a sviluppare il sistema mi ritrovo con

$ \ { (4aib+8i=0),(2aib+2ai=0) : } $

poi trovo $a$ in funzione di $b$ nella prima equazione e sostituisco nella seconda fino ad ottenere $a$ e $b$ e così facendo ottengo due soluzioni..
$z=-2/sqrt(2)+sqrt(2)i$
$z=2/sqrt(2)-sqrt(2)i$
il procedimento che ho seguito è giusto?

[gugo82]

La seconda equazione del sistema si riscrive:
\[
(1+\mathbf{i}) z = \overline{(1+\mathbf{i}) z}
\]
dunque $(1+\mathbf{i}) z$ è reale (perché autoconiugato); da ciò segue che:
\[
z= \frac{x}{1+\mathbf{i}}
\]
con $x\in \RR$.
Sostituendo nella prima ottieni:
\[
x^2 = -8\mathbf{i}\cdot \frac{1}{\left( \frac{1}{1+\mathbf{i}} - \frac{1}{1-\mathbf{i}}\right)\left( \frac{1}{1+\mathbf{i}} + \frac{1}{1-\mathbf{i}}\right)}
\]
da cui calcoli $x$.