Sistema di equazioni ai numeri complessi

[dustofstar]

Ciao a tutti..
Ho il seguente sistema di eq. Ai numeri complessi, e vorrei chiedervi se l'ho svolto in maniera corretta.
$ |z|^2=|z|$
$z=\bar z *i$
Ho svolto il sistema scrivendo $z=x+yi$ e ho ottenuto:
$x^2+y^2=sqrt (x^2+y^2) $
$x+yi=(x-yi)*i$ cioè $ x+yi= x i+y$

Dalla seconda eq. Si ha:
$x(1-i)=y(1-i)$ cioè $x=y$ che sostituito nella prima mi dà:
$2y^2=sqrt(2y^2)$ elevando al quadrato
$4y^4=2y^2$ cioè $2y^2(2y^2-1) =0$ che si annulla in y=0 oppure im $y=+- sqrt2/2$. Ci sono quindi tre soluzioni??

[dustofstar]

Uff.. c'è nessuno?

[Sk_Anonymous]

"dustofstar":[...] $x(1-i)=y(1-i)$ cioè $x=y$ [...]

Siamo sicuri?

[dustofstar]

"Delirium":[quote="dustofstar"][...] $x(1-i)=y(1-i)$ cioè $x=y$ [...]

Siamo sicuri?[/quote]

Perchè? non posso dividere entrambi i membri per (1-i)??

[Sk_Anonymous]

Sì, siamo sicuri.
Allora io non vedo errori.

[dustofstar]

Volevo solo sapere se era fatta bene.. o se c'era un modo migliore per svolgerla..

[dustofstar]

ps.. grazie per l'attenzione Delirium

[gugo82]

"dustofstar":Ciao a tutti..
Ho il seguente sistema di eq. Ai numeri complessi, e vorrei chiedervi se l'ho svolto in maniera corretta.
$ |z|^2=|z|$
$z=\bar z *i$

Dalla prima equazione segue immediatamente \(|z|=0\) oppure \(|z|=1\); dato che \(0\) risolve pure la seconda equazione, \(0\) è una soluzione del sistema e possiamo supporre \(z\neq 0\). Ma allora è necessariamente \(|z|=1\) e perciò \(z=e^{\imath\ \theta}\) per qualche \(\theta\); sostituendo nella seconda e tenendo presente che \(\overline{z} = \frac{|z|^2}{z}\) ed \(\imath = e^{\imath \frac{\pi}{2}}\), si ha:
\[
e^{\imath\ \theta} = \imath\ e^{-\imath\ \theta} = e^{\imath\ (\frac{\pi}{2} - \theta)}
\]
quindi:
\[
\theta = \frac{\pi}{2} - \theta + 2k\pi
\]
con \(k\in \mathbb{Z}\), ossia:
\[
\theta = \frac{\pi}{4} +k\pi\; .
\]
Conseguentemente le altre soluzioni dell'equazione sono \(e^{\imath \frac{\pi}{4}}\) e \(e^{\imath\ \frac{5\pi}{4}}\).