Sistema di equazioni
Buongiorno a tutti,
sto cercando le soluzioni a questo sistema di equazioni, ma non riesco a capire come procedere.
$\{("cos"(\varphi)+"cos"(\theta_1)+"cos"(\theta_2)=1),("sin"(\varphi)+"sin"(\theta_1)+"sin"(\theta_1)=0):}$
Ho provato con derive, ma mi da numeri impossibili
Dal momento che tutto nasce nell'ambito della meccanica razionale so che per considerazioni geometriche (si vede dal disegno
) avrò sempre $\theta_1=0$ e $\theta_2=-\pi+\varphi$ ma dall'algebra non so come ricavarlo 
In particolare comunque $\varphi$ è la variabile libera, e le altre due sono vincolate.
Ho provato con formule di prostaferesi e con parametriche, ma non fanno altro che complicare la situazione
Gradirei molto un suggerimento, grazie, Lorenzo
sto cercando le soluzioni a questo sistema di equazioni, ma non riesco a capire come procedere.
$\{("cos"(\varphi)+"cos"(\theta_1)+"cos"(\theta_2)=1),("sin"(\varphi)+"sin"(\theta_1)+"sin"(\theta_1)=0):}$
Ho provato con derive, ma mi da numeri impossibili
Dal momento che tutto nasce nell'ambito della meccanica razionale so che per considerazioni geometriche (si vede dal disegno
) avrò sempre $\theta_1=0$ e $\theta_2=-\pi+\varphi$ ma dall'algebra non so come ricavarlo In particolare comunque $\varphi$ è la variabile libera, e le altre due sono vincolate.
Ho provato con formule di prostaferesi e con parametriche, ma non fanno altro che complicare la situazione
Gradirei molto un suggerimento, grazie, Lorenzo
Risposte
Chiamo per semplicità [tex]$\alpha=\frac{\theta_1+\theta_2}{2},\ \beta=\frac{\theta_1-\theta_2}{2}$[/tex]: il sistema, usando le formule di prostaferesi diventa
[tex]$\left\{\begin{array}{l}
\cos\phi+2\cos\alpha\ \cos\beta=1\\ \sin\phi+2\sin\alpha\ \cos\beta=0
\end{array}\right.$[/tex]
Dalla seconda equazione segue [tex]$\cos\beta=-\frac{\sin\phi}{2\sin\alpha}$[/tex] da cui, per [tex]\alpha\ne 0,\pi$[/tex] (e quindi per [tex]$\theta_1\ne -\theta_2,\ \theta_1\ne \pi-\theta_2$[/tex]) segue dalla prima
[tex]$\cos\phi-\frac{\sin\phi\cos\alpha}{\sin\alpha}=1\ \Leftrightarrow\ \sin\alpha\cos\phi-\sin\phi\cos\alpha=\sin\alpha$[/tex]
e quindi, ricordando la formula di sottrazione del seno
[tex]$\sin(\alpha-\phi)=\sin\alpha$[/tex]
A questo punto le soluzioni sono
[tex]$\alpha-\phi=\alpha+2k\pi,\qquad \alpha-\phi=\pi-\alpha+2k\pi,\qquad\qquad k\in\mathbb{Z}$[/tex]
e quindi, considerando il senso fisico del tuo problema
[tex]$\phi=0,\ \phi=2\pi,\ \phi=2\alpha-\pi,\ \phi=2\alpha+\pi$[/tex]
Hai allora i seguenti valori per il coseno di beta: [tex]$\cos\beta=0$[/tex] per le prime due scelte; nel terzo caso
[tex]$\cos\beta=-\frac{\sin(2\alpha-\pi)}{2\sin\alpha}=\frac{\sin(2\alpha)}{2\sin\alpha}=\cos\alpha;$[/tex]
nel quarto caso
[tex]\cos\beta=-\frac{\sin(2\alpha+\pi)}{2\sin\alpha}=\cos\alpha.$[/tex]
Basta allora risolvere le due equazioni [tex]$\cos\beta=0,\ \cos\beta=\cos\alpha$[/tex] e ricordare cosa sono alfa e beta per ottenere il risultato richiesto (e lascio a te il resto dei calcoli).
[tex]$\left\{\begin{array}{l}
\cos\phi+2\cos\alpha\ \cos\beta=1\\ \sin\phi+2\sin\alpha\ \cos\beta=0
\end{array}\right.$[/tex]
Dalla seconda equazione segue [tex]$\cos\beta=-\frac{\sin\phi}{2\sin\alpha}$[/tex] da cui, per [tex]\alpha\ne 0,\pi$[/tex] (e quindi per [tex]$\theta_1\ne -\theta_2,\ \theta_1\ne \pi-\theta_2$[/tex]) segue dalla prima
[tex]$\cos\phi-\frac{\sin\phi\cos\alpha}{\sin\alpha}=1\ \Leftrightarrow\ \sin\alpha\cos\phi-\sin\phi\cos\alpha=\sin\alpha$[/tex]
e quindi, ricordando la formula di sottrazione del seno
[tex]$\sin(\alpha-\phi)=\sin\alpha$[/tex]
A questo punto le soluzioni sono
[tex]$\alpha-\phi=\alpha+2k\pi,\qquad \alpha-\phi=\pi-\alpha+2k\pi,\qquad\qquad k\in\mathbb{Z}$[/tex]
e quindi, considerando il senso fisico del tuo problema
[tex]$\phi=0,\ \phi=2\pi,\ \phi=2\alpha-\pi,\ \phi=2\alpha+\pi$[/tex]
Hai allora i seguenti valori per il coseno di beta: [tex]$\cos\beta=0$[/tex] per le prime due scelte; nel terzo caso
[tex]$\cos\beta=-\frac{\sin(2\alpha-\pi)}{2\sin\alpha}=\frac{\sin(2\alpha)}{2\sin\alpha}=\cos\alpha;$[/tex]
nel quarto caso
[tex]\cos\beta=-\frac{\sin(2\alpha+\pi)}{2\sin\alpha}=\cos\alpha.$[/tex]
Basta allora risolvere le due equazioni [tex]$\cos\beta=0,\ \cos\beta=\cos\alpha$[/tex] e ricordare cosa sono alfa e beta per ottenere il risultato richiesto (e lascio a te il resto dei calcoli).
Molte grazie, è davvero notevole la mole di conti da fare, io pensavo ci fosse qualche "trucchetto" rapido che bastava applicare. Comincia a preoccuparmi questa materia...ora che risolvo un sistema del genere mi ci vogliono altro che le due ore del compito... 
Bisognerebbe capire come sei arrivato a questa equazione. Magari c'è un modo semplice per scriverla già in partenza.
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