Sistema di equazioni

[xavio310]

Salve a tutti! Ho dei problemi con il seguente sistema di equazioni:
$$
\begin{cases}
18 x + \lambda(y+1)=0\\
2y+\lambda(x+\frac{1}{3})=0\\
xy+x+\frac{1}{3}y-1=0
\end{cases}
$$
è il sistema che ottengo dalle derivate parziali della Lagrangiana di un problema per la ricerca di minimi e massimi vincolati della funzione
$$f(x,y)=9x^2+y^2+5$$
sotto il vincolo
$$xy+x+\frac{1}{3}y=1$$
Riuscite a vedere nel sistema qualche passaggio algebrico che possa far risparmiare conti e portare in modo più veloce alla soluzione?

Per esempio si può notare che la terza equazione è possibile riscriverla come:
$$(x+\frac{1}{3})(y+1)-\frac{4}{3}=0$$
ma comunque non riesco a semplificare i calcoli e incorro in equazioni di terzo grado effettuando le varie sostituzioni. Qualche suggerimento?

[seb1]

\[\begin{cases}18x\left(x+\frac{1}{3}\right)+\lambda(y+1)\left(x+\frac{1}{3}\right)=0\\2y(y+1)+\lambda\left(x+\frac{1}{3}\right)(y+1)=0\end{cases}\implies\begin{cases}18x\left(x+\frac{1}{3}\right)+\frac{4}{3}\lambda=0\\2y(y+1)+\frac{4}{3}\lambda=0\end{cases}\]da cui \(18x\left(x+\frac{1}{3}\right)=2y(y+1)\) e perciò\[\begin{cases}\left[3\left(x+\frac{1}{6}\right)\right]^2=\left(y+\frac{1}{2}\right)^2\\xy+x+\frac{y}{3}=1\end{cases}\]sistema composto di sole equazioni di secondo grado.

[xavio310]

Ti ringrazio