Sistema di eq differenziali, classe delle soluzioni

[bartofra]

Si tratta della classe di derivabilità di una funzione. Per esempio, nelle equazioni differenziali del secondo ordine.
$ {(x'=f(x ; y)),(y'=g(x ; y)):}$

La classe di derivabilità della soluzione si definisce rispetto il tempo. Quindi, se f e g sono dei polinomi, rispetto al tempo essi saranno sicuramente derivabili
infinite volte. Cioè devo considerare le $f(x(t),y(t))$ e $g(x(t),y(t)).
La soluzione sarà quindi di classe $ C ^+^infty$. Nel caso in cui però vi sono termini del tipo $x^(1/3)$ oppure $|x|+|y|$,
le derivate non sono continue in $ x=0 $e/o $y=0$. Una soluzione, qualora passi per lo zero, potrà al massimo essere di classe $C^+^1$. Ma solo se passa per lo zero, altrimenti anche in questo caso la classe sarà $ C ^+^infty$. Vero?

Per il seguente sistema di equazioni differenziali autonome:
$ {(x'=(|x| +|y|)*cos(y)),(y'==(|x| +|y|)*sin(x)):}$

Ho due affermazioni:
a) Non ha soluzioni di classe $ C ^+^infty$
b) Ha tutte le soluzioni definite su R e di classe $C^+^1$.

In questo caso, a causa dei termini $=(|x| +|y|)$ , f e g non sono derivabili in $0$. Siccome alcune orbite passano per (0,0) direi che la relativa soluzione potrà al massimo essere $C^+^1$. Altre, non passano per (0,0).

Voi cosa ne pensate? a) o b) ?

[dissonance]

Ti stai sbagliando, stai attento. Basta che una delle due coordinate, $x$ o $y$, si annulli per darti fastidi sulla derivabilità. Non è solo il punto $(x, y)=(0, 0)$ a darti problemi, ma tutti e due gli assi coordinati: delle $x$ e delle $y$. Per il resto io direi che una soluzione di classe $C^infty$ c'è e si vede molto facilmente, senza fare conti. Quindi la a) è certamente falsa. Per la b) invece penso che sia vera, ma tu lo devi giustificare. OK sulla classe $C^1$, ma devi dimostrare che tutte le soluzioni sono definite per tutti i tempi.

[bartofra]

Grazie Dissonance. Penso di riuscire a vedere una soluzione di classe $C^+^infty$. Per esempio con $x=2*pi$ e $ y=-pi/2$ ho delle orbite centrate in questo punto che non intersecano gli assi. Vero?

Ora, per poter dimostrare che le soluzioni sono definite in R, non penso di poter usare la Lemma di Gronwall, perchè se osservo il segno del campo, partendo da punti che si trovano per esempio nel primo quadrante, le traiettorie capita che fuoriescano da esso. Se però considero soltanto le orbite periodiche, riesco senz' altro a dimostrare che le relative soluzioni esistano in R. Se non sbaglio tutte le soluzioni sono periodiche. Quindi dovrei essere a posto.....

Cosa ne pensi?

[dissonance]

Il lemma di Gronwall... Mah, io la farei più facile. C'è il teorema di esistenza e unicità globale (anzi, come dice Rigel, di unicità e di esistenza globale): se hai una equadiff $dot{y}=f(t , y)$ con $f$ localmente Lipschitziana rispetto ad $y$ e $|f(t, y)|\le C_1 + C_2|y|$ allora sei sicuro che le soluzioni esistono per tutti i tempi. (Qui è scritto con i piedi, vai a vedere sul libro di Analisi per una formulazione precisa. Se ne parla su tutti i libri di Analisi 2.)

Si può anche fare un discorso ad hoc: tu, se ho capito bene, punti a dimostrare che tutte le soluzioni sono periodiche, ovvero che tutte le orbite sono chiuse. Questo discorso va benissimo, ma lo devi fare a modino.

Infine, la soluzione di classe $C^infty$: esatto, esistono delle soluzioni costanti che quindi sono sicuramente regolari quanto vuoi.