Sistema di eq. differenziali
Ciao a tutti, ho una domanda apparentemente stupida, ma a cui non riesco proprio a venire a capo. Si tratta della risoluzione dei sistemi di equazione differenziali lineari.
Il caso che mi interessa è quello in cui le soluzione dell' equazione caratteristica della matrice dei coefficienti ha molteplicità maggiore di 1.
Il problema è sorto guardando un vecchio esercizio fatto in classe. Lo riporto:
$\{(x'= 4x - y + t),(y' = x + 2y - t),(x(0) = 1),( y(0) = 0):}$
La matrice dei coefficienti è: $A(t) = ((4,-1),(1,2))$, trovi l' eq, caratteristica: $det(A - \lambdaI) = ((4-\lambda,-1),(1,2 - \lambda))$
che mi da come soluzione: $\lambda_(1,2) = 3$.
Ora, trovo il primo autovettore: $A(t)((x),(y)) = \lambda((x),(y)) => v(t) = ((x),(y))$ Quindi posso scrivere la prima soluzione: $\phi_1(t) = e^(3t)v$. Bene.
Il problema è l' altro autovalore, perchè viene trovato applicando il metodo: $(A - lambdaI)w = v$ con $\lambda = 3$. E risulta che il secondo autovettore è:$w =((1),(0))$
Questa procedura mi pare un pò strana, e non ho trovato soluzioni simili nè in altri esercizi fatti in classe, nè Internet.
In qualunque caso, la secona soluzione viene data come: $\phi_2(t) = te^(3t)w + e^(3t)v$
Ora, posso assumere questa soluzione per vera, il problema vero è il caso in cui io abbia un autovalore di molteplicità 3, come farei e trovarlo ??
Grazie a tutti..
EDIT: ho sbalgiato a scrivere il vettore V, è $v(t) = ((1),(1))$
Il caso che mi interessa è quello in cui le soluzione dell' equazione caratteristica della matrice dei coefficienti ha molteplicità maggiore di 1.
Il problema è sorto guardando un vecchio esercizio fatto in classe. Lo riporto:
$\{(x'= 4x - y + t),(y' = x + 2y - t),(x(0) = 1),( y(0) = 0):}$
La matrice dei coefficienti è: $A(t) = ((4,-1),(1,2))$, trovi l' eq, caratteristica: $det(A - \lambdaI) = ((4-\lambda,-1),(1,2 - \lambda))$
che mi da come soluzione: $\lambda_(1,2) = 3$.
Ora, trovo il primo autovettore: $A(t)((x),(y)) = \lambda((x),(y)) => v(t) = ((x),(y))$ Quindi posso scrivere la prima soluzione: $\phi_1(t) = e^(3t)v$. Bene.
Il problema è l' altro autovalore, perchè viene trovato applicando il metodo: $(A - lambdaI)w = v$ con $\lambda = 3$. E risulta che il secondo autovettore è:$w =((1),(0))$
Questa procedura mi pare un pò strana, e non ho trovato soluzioni simili nè in altri esercizi fatti in classe, nè Internet.
In qualunque caso, la secona soluzione viene data come: $\phi_2(t) = te^(3t)w + e^(3t)v$
Ora, posso assumere questa soluzione per vera, il problema vero è il caso in cui io abbia un autovalore di molteplicità 3, come farei e trovarlo ??
Grazie a tutti..
EDIT: ho sbalgiato a scrivere il vettore V, è $v(t) = ((1),(1))$
Risposte
In questo caso è così perchè $A$ non è diagonalizzabile, altrimenti avresti avuto solo il modo $e^3t$, se tu avessi una matrice quadrata A di dimensione 3, con autovalore $\lambda$ con molteplicità algebrica 3, hai 3 casi:
- se A è diagonalizzabile hai solamente il modo $e^(\lambda t)$
- se A non è diagonalizzabile allora si può mettere in forma di Jordan:
- due blocchi (uno di dimensione 2 e l'altro da 1) quindi avresti i modi $e^(\lambda t)$ e $t e^(\lambda t)$
- un blocco (di dimensione 3) quindi avresti i modi $e^(\lambda t)$, $t e^(\lambda t)$ e $t^2 e^(\lambda t)$
[/list:u:3dw6tvot]
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"Ska":
In questo caso è così perchè $A$ non è diagonalizzabile, altrimenti avresti avuto solo il modo $e^3t$, se tu avessi una matrice quadrata A di dimensione 3, con autovalore $\lambda$ con molteplicità algebrica 3, hai 3 casi:
- se A è diagonalizzabile hai solamente il modo $e^(\lambda t)$
- se A non è diagonalizzabile allora si può mettere in forma di Jordan:
- due blocchi (uno di dimensione 2 e l'altro da 1) quindi avresti i modi $e^(\lambda t)$ e $t e^(\lambda t)$
- un blocco (di dimensione 3) quindi avresti i modi $e^(\lambda t)$, $t e^(\lambda t)$ e $t^2 e^(\lambda t)$
[/list:u:35jfxg53]
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Intanto grazie della risposta..
ho dato un' occhiata in internet sulla forma di Jordan, e ho trovato questo: http://www.mat.uniroma3.it/didattica_in ... AM2s12.pdf
che pare fare al caso mio. Nelle ultime 2 righe di pagina 7 comincia il discorso inerente al mio problema.
Il problema ora è un' altro, quando viene trattato il problema di una matrice 2X2, si dice che il secondo autovettore è multiplo del primo(poco prima di metà pagina 8), e questo mi pare strano, perchè nel mio esempio non è così. Però la formula riportata per trovare tale vettore è come quella usata nell' esempio.
Comunque nelle ultime 3 righe di pagina 9, sembra eserci la soluzione generalizzata, cioè: se la matrica A nXn ha un autovalore di molteplicità n, allora per trovare i k autovettori con k = 2,..,n si deve semplicemente aplicare la formula $(A - \lambdaI)v_(k + 1) = v_k$
Quindi nel mio caso, se volessi trovare il terzo autovettore u, dovrei imporre $(A - \lambdaI)u = w$, e la terza soluzione sarebbe:
$\phi_3(t) = t^2e^(\lambda t)$ giusto ?
Attento... c'è anche scritto... un solo autovalore $\lambda$ con molteplicità algebrica pari a $n$ e molteplicità geometrica pari a 1, se così non è non è detto che tu abbia i tutti i vari $t^k e^(\lambda t)$ con $k \in [0,n-1]$.
In generale se hai un autovalore $\lambda$ con molteplicità algebrica $n$ e geometrica $g$, devi trovare $g$ numeri ${a_1,a_2,...,a_g}$ tali che $\sum_{i=1}^g a_i = n$.
De quindi studiare la compatibilità delle varie combinazioni con il sistema che hai e trovare la decomposizione corretta. Fatto questo, ti basta seguire la logica della decomposizione per trovare gli autovettori.
Se ad esempio poniamo $n=4$ e $g=2$ allora devi trovare $a_1,a_2$ tale che $a_1 + a_2 = 4$, quindi $(2,2)$ oppure $(1,3)$. Nel primo caso vorrebbe dire avere una matrice $J_1= ((\lambda,1,0,0),(0,\lambda,0,0),(0,0,\lambda,1),(0,0,0,\lambda))$, nel secondo invece $J_2 = ((\lambda,1,0,0),(0,\lambda,1,0),(0,0,\lambda,0),(0,0,0,\lambda))$
Come puoi vedere si tratta di strutture diverse.
Nel primo caso $f_1(e_1) = \lambda e_1$, $f_1(e_2) = e_1 + \lambda e_2$, $f_1(e_3) = \lambda e_3$, $f_1(e_4) = e_3 + \lambda e_4$. Quindi vuol dire che avrai $Ker (A-\lambda I)^2 = \RR^4$ e che due autovettori, li trovi in $Ker(A-\lambdaI)^2 \setminus Ker(A-\lambdaI)$ e ottenere gli altri due applicando l'endomorfismo ad essi, quindi devi verificare che effettivamente ti ritrovi questa situazione, in particolare devi ottenere $(A-\lambda I)^2 = ((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, se così non è allora $Ker (A-\lambda I)^2 \ne \RR^4$ quindi non può essere questa la situazione corretta.
Nel secondo caso $f_2(e_1) = \lambda e_1$, $f_2(e_2) = e_1 + \lambda e_2$, $f_2(e_3) = e_2 + \lambda e_3$, $f_2(e_4) = \lambda e_4$. Quindi vuol dire che avrai $Ker (A-\lambda I)^3 = \RR^4$, di questo dovrai prendere un vettore che stia in $Ker (A-\lambda I)^3 \setminus Ker (A-\lambda I)^2$, applicare ad esso l'endomorfismo per trovare il corrispettivo in $Ker (A-\lambda I)^2$ e su questo applicare ancora l'endomorfismo per trovare un vettore appartenente a $Ker (A-\lambda I)$. L'ultimo autovettore si trova in $Ker (A-\lambda I)$ dato che è a dimensione 2 e quindi basta trovarne uno linearmente indipendente da quello già trovato. Dunque devi poter verificare questa situazione.
La matrice del cambiamento di base si scrive poi mettendo gli autovettori in colonna mantendo la struttura fissata della matrice $J$.
Nel primo caso se chiamiamo $v,w$ autovettori in $Ker (A-\lambda I)^2 \setminus Ker (A-\lambda I)$ allora scriverai $T^-1= (f_1(v),v, f_1(w),w)$.
Nel secondo caso, chiamando $r$ autovettore in $Ker (A-\lambda I)^3 \setminus Ker (A-\lambda I)^2$, $f_2(r) \in Ker (A-\lambda I)^2\setminus Ker (A-\lambda I)$ e $f_2^2(r) \in Ker (A-\lambda I)$, e $s \in Ker (A-\lambda I): s,f_2^2(r)$ sono l.i. allora $T^-1 = (f_2^2(r), f_2(r), r, s)$.
In generale se hai un autovalore $\lambda$ con molteplicità algebrica $n$ e geometrica $g$, devi trovare $g$ numeri ${a_1,a_2,...,a_g}$ tali che $\sum_{i=1}^g a_i = n$.
De quindi studiare la compatibilità delle varie combinazioni con il sistema che hai e trovare la decomposizione corretta. Fatto questo, ti basta seguire la logica della decomposizione per trovare gli autovettori.
Se ad esempio poniamo $n=4$ e $g=2$ allora devi trovare $a_1,a_2$ tale che $a_1 + a_2 = 4$, quindi $(2,2)$ oppure $(1,3)$. Nel primo caso vorrebbe dire avere una matrice $J_1= ((\lambda,1,0,0),(0,\lambda,0,0),(0,0,\lambda,1),(0,0,0,\lambda))$, nel secondo invece $J_2 = ((\lambda,1,0,0),(0,\lambda,1,0),(0,0,\lambda,0),(0,0,0,\lambda))$
Come puoi vedere si tratta di strutture diverse.
Nel primo caso $f_1(e_1) = \lambda e_1$, $f_1(e_2) = e_1 + \lambda e_2$, $f_1(e_3) = \lambda e_3$, $f_1(e_4) = e_3 + \lambda e_4$. Quindi vuol dire che avrai $Ker (A-\lambda I)^2 = \RR^4$ e che due autovettori, li trovi in $Ker(A-\lambdaI)^2 \setminus Ker(A-\lambdaI)$ e ottenere gli altri due applicando l'endomorfismo ad essi, quindi devi verificare che effettivamente ti ritrovi questa situazione, in particolare devi ottenere $(A-\lambda I)^2 = ((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, se così non è allora $Ker (A-\lambda I)^2 \ne \RR^4$ quindi non può essere questa la situazione corretta.
Nel secondo caso $f_2(e_1) = \lambda e_1$, $f_2(e_2) = e_1 + \lambda e_2$, $f_2(e_3) = e_2 + \lambda e_3$, $f_2(e_4) = \lambda e_4$. Quindi vuol dire che avrai $Ker (A-\lambda I)^3 = \RR^4$, di questo dovrai prendere un vettore che stia in $Ker (A-\lambda I)^3 \setminus Ker (A-\lambda I)^2$, applicare ad esso l'endomorfismo per trovare il corrispettivo in $Ker (A-\lambda I)^2$ e su questo applicare ancora l'endomorfismo per trovare un vettore appartenente a $Ker (A-\lambda I)$. L'ultimo autovettore si trova in $Ker (A-\lambda I)$ dato che è a dimensione 2 e quindi basta trovarne uno linearmente indipendente da quello già trovato. Dunque devi poter verificare questa situazione.
La matrice del cambiamento di base si scrive poi mettendo gli autovettori in colonna mantendo la struttura fissata della matrice $J$.
Nel primo caso se chiamiamo $v,w$ autovettori in $Ker (A-\lambda I)^2 \setminus Ker (A-\lambda I)$ allora scriverai $T^-1= (f_1(v),v, f_1(w),w)$.
Nel secondo caso, chiamando $r$ autovettore in $Ker (A-\lambda I)^3 \setminus Ker (A-\lambda I)^2$, $f_2(r) \in Ker (A-\lambda I)^2\setminus Ker (A-\lambda I)$ e $f_2^2(r) \in Ker (A-\lambda I)$, e $s \in Ker (A-\lambda I): s,f_2^2(r)$ sono l.i. allora $T^-1 = (f_2^2(r), f_2(r), r, s)$.
Grazie della risposta, comunque non ci siamo addentrati così a fondo nello studio di questi sistemi, quindi credo che ci limiteremo al massimo ad esercizi come quello proposto, comunque ho capito cosa intendevi..
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