Sistema di disequazioni in due incognite (limite)
Dovrei verificare attraverso la definizione che $lim_((x,y)->(0,0)) (2x^2y)/(x^2+y^2)=0$. Se ho capito bene, devo dimostrare che il sistema di due disequazioni $(2x^2y)/(x^2+y^2)> -e, (2x^2y)/(x^2+y^2)0$, giusto?
Ora io non ho mai risolto sistemi di disequazioni in due incognite, e non so proprio dove iniziare. Suggerimenti?
Grazie!
Ora io non ho mai risolto sistemi di disequazioni in due incognite, e non so proprio dove iniziare. Suggerimenti?
Grazie!
Risposte
Sono personalmente abituato a ricorrere alle coordinate polari -centrate nel punto in cui calcolare il limite- per praticità, cioè se devo calcolare $\lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} f(x,y)$ pongo $x=x_0+r\cos\theta$ e $y=y_0+r\sin\theta$ e valuto il limite $\lim_{r->0} f(x_0+r\cos\theta,y_0+r\sin\theta)$: se il valore di questo limite dipende da $\theta$ allora il limite $\lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} f(x,y)$ non esiste, perché la funzione tenderà a valori diversi a seconda del "percorso"; se invece il limite $L$ non dipende da $\theta$ verifico che, chiamando $s(r)="sup"_{\theta\in[0,2\pi]}|f(x_0+r\cos\theta,y_0+r\sin\theta)-L|$, il limite $\lim_{r->0} s(r)$ sia nullo, cioè in altre parole che ci sia convergenza uniforme sull'angolo giro (intorno a $(x_0,y_0)$).
Nel caso specifico da te proposto calcolerei (se sbaglio spero di venire corretto...):
$\lim_{(x,y)->(0,0)} (2x^2y)/(x^2+y^2)=\lim_{r->0}2r\cos^2\theta\sin\theta=0$ che non dipende quindi da $\theta$ perché è 0 per ogni valore di essa. Bisogna quindi da verificare che il limite dell'estremo superiore $s(r)$ che ho usato sopra sia nullo e direi che
$s(r)="sup"_{\theta\in[0,2\pi]}|2r\sin\theta\cos^2\theta| \leq 2r$ perché $|\sin\theta\cos^2\theta|\leq1$ quindi per "i due carabinieri" mi pare che
$0\leq \lim_{r->0} s(r)\leq \lim_{r->0}2r=0$ e perciò $\lim_{r->0} s(r)=0$ che prova che $\lim_{(x,y)->(0,0)} (2x^2y)/(x^2+y^2)=0$.
Ciao!
Nel caso specifico da te proposto calcolerei (se sbaglio spero di venire corretto...):
$\lim_{(x,y)->(0,0)} (2x^2y)/(x^2+y^2)=\lim_{r->0}2r\cos^2\theta\sin\theta=0$ che non dipende quindi da $\theta$ perché è 0 per ogni valore di essa. Bisogna quindi da verificare che il limite dell'estremo superiore $s(r)$ che ho usato sopra sia nullo e direi che
$s(r)="sup"_{\theta\in[0,2\pi]}|2r\sin\theta\cos^2\theta| \leq 2r$ perché $|\sin\theta\cos^2\theta|\leq1$ quindi per "i due carabinieri" mi pare che
$0\leq \lim_{r->0} s(r)\leq \lim_{r->0}2r=0$ e perciò $\lim_{r->0} s(r)=0$ che prova che $\lim_{(x,y)->(0,0)} (2x^2y)/(x^2+y^2)=0$.
Ciao!
Propongo un'alternativa:
Si può tenere presente che $|2xy|<=x^2+y^2$ per ogni $(x,y) in RR^2$
Da questo si deduce che $AA (x,y) in RR^2 setminus (0,0)$ si ha $|(2x^2y)/(x^2+y^2)|= |x|* |2xy|/(x^2+y^2)<=|x|$
lisdap, consentimi una tirata d'orecchie: hai scritto più di 1800 messaggi e non sai come si scrive $epsilon$?
Si può tenere presente che $|2xy|<=x^2+y^2$ per ogni $(x,y) in RR^2$
Da questo si deduce che $AA (x,y) in RR^2 setminus (0,0)$ si ha $|(2x^2y)/(x^2+y^2)|= |x|* |2xy|/(x^2+y^2)<=|x|$
lisdap, consentimi una tirata d'orecchie: hai scritto più di 1800 messaggi e non sai come si scrive $epsilon$?
Ok ragazzi, grazie per le risposte. In effetti il vostro metodo è più veloce, però a me interessava capire se si poteva risolvere a mano quel sistema di disequazioni e come.
Altra domanda: dico bene quando scrivo che devo dimostrare che il sistema di due disequazioni ammette come soluzioni un intorno di $(0,0)$ per ogni $e>0$?
Ahah, mi piace più la $e$!!!
Grazie mille!
Altra domanda: dico bene quando scrivo che devo dimostrare che il sistema di due disequazioni ammette come soluzioni un intorno di $(0,0)$ per ogni $e>0$?
"Gi8":
lisdap, consentimi una tirata d'orecchie: hai scritto più di 1800 messaggi e non sai come si scrive $epsilon$?
Ahah, mi piace più la $e$!!!
Grazie mille!
E' da pazzi risolvere quel sistema di disequazioni con carta e penna? E' possibile?
Lisdap, perché vuoi risolvere quel sistema?
Puoi benissimo usare l'utilissima maggiorazione \(|f(x,y)|\leq |x|\) per arrivare alla verifica della definizione di limite.
Puoi benissimo usare l'utilissima maggiorazione \(|f(x,y)|\leq |x|\) per arrivare alla verifica della definizione di limite.
"gugo82":
Lisdap, perché vuoi risolvere quel sistema?
Ho fatto una domanda precisa:
Si può risolvere con carta e penna quel sistema? C'è un modo?
Risposte:
1) Si, il modo è....
2) No, mi dispiace, solo i computer possono farlo...
Beh, è un sistema di disequazioni di secondo grado in due incognite; quindi sì, si può risolvere con metodi elementari.
E ti lascio volentieri il compito, sì come farebbe ogni utente di questo forum.
Sei libero di sbariare su queste inezie quanto vuoi; ma come detto ci sono altre strade, più importanti per le idee che vincolano (i.e., che il più delle volte saper fare calcoli immani non aiuta nella risoluzione del problema più di avere un po' di semplice fantasia).
E ti lascio volentieri il compito, sì come farebbe ogni utente di questo forum.
Sei libero di sbariare su queste inezie quanto vuoi; ma come detto ci sono altre strade, più importanti per le idee che vincolano (i.e., che il più delle volte saper fare calcoli immani non aiuta nella risoluzione del problema più di avere un po' di semplice fantasia).
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