Sistema con laplaciano e gradiente
Salve a tutti!
io dovrei risolvere un sistema (con x vettore bidimensionale) :
f(x) nota
grad g(x) =h(x)
div (grad g(x)) =f(x)
come posso ottenere una formula esplicita e generale per g(x) e h(x) in funzione di f(x)?
e come cambia se x rappresenta non un vettore ma il modulo di un vettore?
grazie a tutti!
io dovrei risolvere un sistema (con x vettore bidimensionale) :
f(x) nota
grad g(x) =h(x)
div (grad g(x)) =f(x)
come posso ottenere una formula esplicita e generale per g(x) e h(x) in funzione di f(x)?
e come cambia se x rappresenta non un vettore ma il modulo di un vettore?
grazie a tutti!
Risposte
Innanzitutto il problema si riduce a determinare \(g\), perché poi \(h\) si calcola a mano.
Determinare \(g\) significa risolvere l'equazione di Poisson \(-\Delta u =f\) e poi porre \(g=-u\).
L'equazione di Poisson si risolve in maniera standard: se il dominio è tutto \(\mathbb{R}^2\), allora \(u\) si esprime come usando un prodotto di convoluzione tra la soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace e del termine noto; se invece il dominio è un aperto limitato \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) bisogna ricorrere a tecniche più sofisticate (ad esempio, usare la funzione di Green).
Per queste cose puoi vedere Evans, Partial Differential Equations, cap. 2, par. 2.
Determinare \(g\) significa risolvere l'equazione di Poisson \(-\Delta u =f\) e poi porre \(g=-u\).
L'equazione di Poisson si risolve in maniera standard: se il dominio è tutto \(\mathbb{R}^2\), allora \(u\) si esprime come usando un prodotto di convoluzione tra la soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace e del termine noto; se invece il dominio è un aperto limitato \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) bisogna ricorrere a tecniche più sofisticate (ad esempio, usare la funzione di Green).
Per queste cose puoi vedere Evans, Partial Differential Equations, cap. 2, par. 2.
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