Sistema con i numeri complessi

[Damiano77]

Bungiorno,
devo risolvere questo sistema di eqauzioni complesse
$z+w\barz=|z|$
$\barz+wz=1$
Sono riuscito usando la forma algebrica, ma ho usato un procedimento piuttosto lungo. Mi chiedevo se esistesse un procedimento più corto che magari facesse uso della forma esponenziale dei numeri complessi (anche perchè l'esercizio si trova in questa parte). Ho provato in ogni modo, ma non riesco.
Grazie in anticipo a chi risponderà

[Palliit]

Per curiosità, hai trovato altre soluzioni oltre alla coppia reale $w=0$ e $z=1$ ?

[gugo82]

Sommando m.a.m. ottieni $2"Re"(z) * (w +1) = |z| +1$, quindi $w$ è reale.
Ma se $w$ è reale, l'unico modo che hai affinché $z + wbar(z) = |z|$ è che $"Im"(z) - w"Im"(z) = 0$, ossia o $"Im"(z) =0$ o $w=1$.
Di qui distingui i due casi e te la cavi.

[Damiano77]

Grazie mille gugo82

Per Palliit, le altre soluzioni mi escono $z=-1$ e $w=-2$, $z=1/2+sqrt3/2i$ e $w=1$, $z=1/2-sqrt3/2i$ e $w=1$

[pilloeffe]

Ciao Damiano77,

Il sistema di equazioni complesse proposto è il seguente:

${(z+w\barz=|z|),(\barz+wz=1):}$

Più che col metodo esponenziale, partirei ragionando un po'...
Sommando membro a membro e considerando $z = x + iy $ si ha:

$ z + \bar{z} + w\bar{z} + wz = |z| + 1 $

$ z + \bar{z} + w(z + \bar{z}) = |z| + 1 $

$2x(1 + w) = |z| + 1 $

$1 + w = \frac{|z| + 1}{2x} $

$ w = \frac{|z| + 1}{2x} - 1 $

Da quest'ultima relazione si deduce che $w $ è un numero reale (come ti aveva già scritto gugo82).
Inserendo tale valore di $w$ nella seconda equazione si ha:

$ x - iy + (\frac{|z| + 1}{2x} - 1)(x + iy) = 1 $

$ x - iy + \frac{|z| + 1}{2} - x + iy \frac{|z| + 1}{2x} - iy = 1 $

$ - iy + \frac{|z| + 1}{2} + iy \frac{|z| + 1}{2x} - iy = 1 $

$ \frac{|z| + 1}{2} + iy (\frac{|z| + 1}{2x} - 2) = 1 $

Da quest'ultima si deduce che deve essere $ \frac{|z| + 1}{2} = 1 \implies |z| = 1 $ e quindi, visto che si deve annullare la parte immaginaria, o $y = 0 $ oppure $1/x - 2 = 0 $
Dovendo essere $|z| = 1 $ e $ y = 0 $ ne consegue che $ x = \pm 1 $:
per $ x = 1 $ si ha $ z = 1 \implies w = 0 $;
per $ x = - 1 $ si ha $ z = - 1 \implies w = - 2 $
Da $ 1/x - 2 = 0 $ dovendo essere $|z| = 1 $ ne consegue che $ x = 1/2 $ e $y = \pm \sqrt3/2 $ quindi $z = 1/2 \pm i sqrt3/2 \implies w = 1 $
Riassumendo, le $4$ soluzioni del sistema proposto sono due reali e due complesse (rispetto a $z$, perché $w$ come si è detto è sempre reale) e sono le seguenti:

$z_1 = 1 $, $w_1 = 0 $

$z_2 = - 1 $, $w_2 = - 2 $

$z_3 = 1/2 - i \sqrt3/2 $, $w_3 = 1 $

$ z_4 = 1/2 + i \sqrt3/2 $, $w_4 = 1 $