Sistema con funzioni esponenziali

[RP-1]

Buonasera a tutti,

dovendo ricavare i punti estremanti di una funzione in due variabili, mi sono imbattuto in un sistema che mi sta dando non poche noie:

${(e^y-ye^x=0),(xe^y-e^x=0):}$

Per sostituzione si ottiene $y=1/x$ e l'unica soluzione accettabile in $RR^2$ è il punto di coordinate $(1,1)$. Che fosse una soluzione del sistema, era evidente sin dall'inizio, ma il perché sia l'unica ancora non mi è chiaro. Come bisogna procedere?

[pilloeffe]

Ciao RP-1,

Beh, sostituendo $y = 1/x $ ad esempio nelle seconda equazione si ha:

$ x e^(1/x) = e^x $

$ x = e^{x - 1/x} $

$ln x = x - 1/x $

$ {(y = ln x),(y = x - 1/x):} $

Le due funzioni sono ben note e semplici da studiare e disegnare: si intersecano nel solo punto $A(1, 0) $ nel quale entrambe intersecano l'asse $x$ (di equazione $y = 0 $).
Se $x = 1 $ e si sa che $y = 1/x $ ne consegue che $y = 1 $ e pertanto il sistema proposto ha l'unica soluzione $(x, y) = (1, 1) $