SISSA '11 - Gruppo A

[Nulier]

Il test è il 3, questo strazio sarà finito a breve

Ho dubbi sugli esercizi 4 e 5, ma sul 4 intendo ragionare ancora un po' quindi posto il mio lavoro sul 5. (I testi sono qui http://www.math.sissa.it/sites/default/files/Entrance_Examinations_pdf/LM-11.pdf)

Esercizio 5

i) Basta cercare una funzione $U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ tale che
$$
0=\frac{d}{dt}{U(x(t),t)}=U_x y-U_y (x-x^2)
$$
per ogni $t$ ossia $U_x=x^2-x$ e $U_y=y$ da cui $U=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}$.

ii) Dovrei usare l'integrale primo del punto (i) per giungere a qualche conclusione sulla limitatezza delle soluzioni, ma al momento il modo mi sfugge.

[_fabricius_1]

Dalla costanza di U segue facilmente che x è limitata superiormente, ma è l'unica informazione che sono riuscito a ricavare.

[Rigel1]

Per il 5 sembrerebbe che le orbite limitate si abbiano per dati iniziali nell'insieme
\[
E = \{ (x,y):\ 0\leq x \leq \frac{3}{2}\,,\ \frac{y^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} \leq 0\}.
\]
(E' una regione limitata e convessa che contiene le due orbite stazionarie \((0,0)\) e \((3/2, 0)\).)

[Giso1]

Se $U$ è una costante del moto, allora per ogni dato iniziale $(x_0,y_0)$, prendendo pure il tempo $t_0=0$ dato che il sistema è autonomo, si ha $U(x(t;x_0,y_0),y(t;x_0,y_0))=U(x_0,y_0)=c$ per un certo $c \in \R$.

Ora prova ad esprimere $y$ in funzione di $x$, e vedere come varia (dove esiste) questa funzione al variare del parametro $c$. Dal grafico che ottieni dovresti riuscire a dedurre per quali $c$ esistono, e dove, orbite limitate.