Sinx/x

[bug54]

Salve,
mi stò impappinando sulla dimostrazione mediante la definizione di limite
che sinx/x = 1 per x che tende a 0.
ossia come risolvere la disequazione

1−ɛ < sinx / x < 1+ɛ ?

[Summerwind78]

Ciao

non so se è esattamente quello che cerchi ma per quello che ricordo la dimostrazione dovrebbe essere questa:

sappiamo che $sin(x)/x$ è una funzione pari, quindi possiamo prendere solo il semiasse positivo delle ascisse $X>=0$

partendo dalla funzione $sin(x)$ abbiamo che

$0<= sin(x)<=x<=tan(x)$

se prendiamo tutti i reciproci abbiamo che

$1/(sin(x))>1/x>(cos(x))/(sin(x))$

a questo punto non dobbiamo fare altro che moltiplicare tutto per $sin(x)$ e abbiamo

$1>(sin(x))/x>cos(x)$

ed ora si applica il teorema dal confronto tra limiti infatti

[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \cos(x) = 1[/tex] quindi anche [tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1[/tex]


spero di esserti stato di aiuto

[bug54]

Grazie dell'aiuto ma non è questo quello che chiedevo. Tu hai fornito la dimostrazione che il limite è 1,
io cercavo un aiuto per verificare il limite (una volta assodato che il limite è 1), usando la definizione di limite.
Ossia andare a risolvere la disequazione $\varepsilon-1 Ora la disequazione di destra è immediata perchè sinx/x è una frazione propria essendo sinx minore o uguale di 1
quindi un numero minore o uguale di 1 è certamente minore di un numero maggiore di 1,
quella di sinistra come si fa?

[BoG3]

"zorrok":$\varepsilon-1

Perdona ma non è che volevi scrivere: $1-\varepsilon

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[bug54]

ovviamente SI

[bug54]

ho provato con questo procedimento..
$|sinx/x-1|<\varepsilon$
ora siccome vale che $|a-b|\leq|a|+|b|$ e $|sinx|\leq1$ si ha
$(1+|x|)/|x|<\varepsilon$
da cui
$|x|<-1/(1-\varepsilon)$

che non ha soluzioni

dov'è l'errore?

[Luca.Lussardi]

L'errore sta nel fatto che da $a\le b$ e $a\le c$ sei passato a $c\le b$, che è ovviamente falso, in generale.

[bug54]

"Luca.Lussardi":L'errore sta nel fatto che da $a\le b$ e $a\le c$ sei passato a $c\le b$, che è ovviamente falso, in generale.

Ops.. ho fatto un grave errore di logica...
le sarei grato se potessi suggerirmi come risolvere la disequazione.