$|\sin(x) \/ x| \in L^1(\mathbb{R})$ ?
Ho un problema con il quesito nel titolo (e penso che sia piuttosto grave).
La funzione [tex]f(x) := \frac{\sin(x)}{x}[/tex] è integrabile impropriamente su [tex]\mathbb{R}[/tex]. Infatti [tex]\int_0^1 f(x) dx < +\infty[/tex] e se [tex]c > 0[/tex], allora [tex]\int_1^c f(x) dx = \left[-\frac{\cos(x)}{x}\right]_1^{c} + \int_1^c \frac{\cos(x)}{x^2} dx[/tex], e poiché il primo termine converge per c che tende a più infinito e il secondo termine è finito per c che tende ad infinito (la funzione integranda è in [tex]L^1([1,+\infty[)[/tex]), l'integrale risulta finito, cioè f è integrabile in senso improprio. Si conclude osservando che la funzione è pari.
Cosa accade invece per [tex]\int_{\mathbb{R}} |f(x)|dx[/tex]?
La funzione [tex]f(x) := \frac{\sin(x)}{x}[/tex] è integrabile impropriamente su [tex]\mathbb{R}[/tex]. Infatti [tex]\int_0^1 f(x) dx < +\infty[/tex] e se [tex]c > 0[/tex], allora [tex]\int_1^c f(x) dx = \left[-\frac{\cos(x)}{x}\right]_1^{c} + \int_1^c \frac{\cos(x)}{x^2} dx[/tex], e poiché il primo termine converge per c che tende a più infinito e il secondo termine è finito per c che tende ad infinito (la funzione integranda è in [tex]L^1([1,+\infty[)[/tex]), l'integrale risulta finito, cioè f è integrabile in senso improprio. Si conclude osservando che la funzione è pari.
Cosa accade invece per [tex]\int_{\mathbb{R}} |f(x)|dx[/tex]?
Risposte
Ne abbiamo parlato già altre volte... Basta cercare.
In parole povere: disegna un po' il grafico di [tex]|\frac{\sin x}{x}|[/tex]; renditi conto che l'area sottesa si può minorare con la somma di aree di triangoli; valuta come si comporta questa somma.
In parole povere: disegna un po' il grafico di [tex]|\frac{\sin x}{x}|[/tex]; renditi conto che l'area sottesa si può minorare con la somma di aree di triangoli; valuta come si comporta questa somma.
Ok, mi bastava un suggerimento così. Prima di postare ho cercato, ma non mi è stato facile trovare una discussione simile, vista la ricorrenza delle parole "integrale", "seno" in questa sezione...
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