$sinh(x)=sin(ix)$ ? (più definizione)
Dimostrare $sinh(x)=sin(ix)$
io riesco a dimostrare che $sinh(x)=-i*sin(ix)$
Inoltre, per non aprire un'altro topic, cosa si intendere, parlando di serie di funzioni, per "puntualmente sommabile" e "assolutamente sommabile"?
io riesco a dimostrare che $sinh(x)=-i*sin(ix)$
Inoltre, per non aprire un'altro topic, cosa si intendere, parlando di serie di funzioni, per "puntualmente sommabile" e "assolutamente sommabile"?
Risposte
hai ragione tu 
:
$sinh(x) = (e^x - e^-x)/2 = (e^((-i*i)*x) - e^((i*i)*x))/2 = -(e^(i(ix)) - e^(-i(ix)))/2 = -i*(e^(i(ix)) - e^(-i(ix)))/(2i) = -i*sin(ix)$
Per la seconda domanda non ti so rispondere....
Ciao
:$sinh(x) = (e^x - e^-x)/2 = (e^((-i*i)*x) - e^((i*i)*x))/2 = -(e^(i(ix)) - e^(-i(ix)))/2 = -i*(e^(i(ix)) - e^(-i(ix)))/(2i) = -i*sin(ix)$
Per la seconda domanda non ti so rispondere....
Ciao
ma poi il seno per definizione non è una funzione che vuole solo valori reali?
Sinceramente non ho ancora mai fatto nessun corso di analisi complessa quindi potrei fare qualche errore di sostanza (anche se mi sembra che il seno possa essere tranquillamente ampliato in tutto $CC$ dalla definizione analitica).
Comunque, sfruttando che $sin(y) = (e^(iy) -e^(-iy))/2$ ho come hanno già detto:
$-isin(ix) = -i(e^(i(ix)) -e^(-i(ix)))/(2i) = -(e^(-x) -e^x)/2 = (e^x -e^(-x))/2$.
Comunque, sfruttando che $sin(y) = (e^(iy) -e^(-iy))/2$ ho come hanno già detto:
$-isin(ix) = -i(e^(i(ix)) -e^(-i(ix)))/(2i) = -(e^(-x) -e^x)/2 = (e^x -e^(-x))/2$.
"nato_pigro":
Dimostrare $sinh(x)=sin(ix)$
Già se prendi $x \in RR$, hai che il primo termine è reale mentre il secondo in generale no quindi non può valere l'uguaglianza...
"Zkeggia":
ma poi il seno per definizione non è una funzione che vuole solo valori reali?
si ma si ridefinisce riestendendolo ai complessi tramite lo sviluppo di taylor.
Io ho usato la formula di Eulero:
$e^(iz)=cos(z)+isin(z)$ sostituendo $z=ix$ poi ho sommato e sottratto usando parità e disparità di coseno e seno.
Comunque, se è giusto così e $sin(ix)!=-i*sin(ix)$ (credo proprio di si) allora ho sbagliato a copiare il testo dell'esercizio.
Ripropongo l'ultima questione:
"nato_pigro":
cosa si intendere, parlando di serie di funzioni, per "puntualmente sommabile" e "assolutamente sommabile"?
Il seno di variabile complessa è definito come serie: [tex]$\forall z \in \mathbb{C}\quad\sin(z) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$[/tex], nel caso di variabile reale le due serie coincidono da qui il nome, ma comunque sia la definizione è fatta dalla scrittura in serie.
Tutto quanto detto finora è certamente corretto, ma diventa molto più semplice (IMHO) se si assumono definizioni leggermente diverse (ed equivalenti a quelle date). La funzione intera (=analitica su tutto [tex]\mathbb{C}[/tex]) più importante è senza dubbio [tex]\exp[/tex], che si può definire come l'unica funzione analitica che verifichi
[tex]\begin{cases} w'(z)=w(z) \\
w(0)=1 \end{cases}[/tex]
è un esercizio semplice dimostrare che l'unica soluzione analitica di questa equazione è [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}[/tex]. (traccia: scrivere [tex]w(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n[/tex], imporre che [tex]w'(z)=w(z)[/tex], dimostrare per induzione che [tex]a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)!}[/tex]. Infine osservare che la serie converge per ogni [tex]z\in\mathbb{C}[/tex], definendo quindi una funzione intera).
In termini di questa funzione si possono definire poi [tex]\sin, \cos, \sinh, \cosh[/tex]:
[tex]\displaystyle \cos(z)=\frac{\exp(\imath z)+\exp(-\imath z)}{2},\ \sin(z)=\frac{\exp(\imath z)-\exp(-\imath z)}{2 \imath}[/tex]
[tex]\displaystyle \cosh(z)=\frac{\exp(z)+\exp(-z)}{2},\ \sinh(z)=\frac{\exp(z)-\exp(-z)}{2}[/tex]
e con queste definizioni è immediato mostrare che
[tex]\displaystyle \cosh(z)=\cos(\imath z),\ \sinh(z)=-\imath \sin (\imath z)[/tex].
Vabbé. Questo è un approccio alla definizione delle funzioni trigonometriche e iperboliche. Consiglio la lettura di Visual Complex Analysis di T. Needham, capitolo II paragrafi The exponential function e Cosine and sine (e, in subordine, anche il paragrafo The Euler Formula del capitolo I) per avere un chiaro quadro geometrico di queste funzioni.
[EDIT] Ooops!!! Vedo che ho praticamente scoperto l'acqua calda, visto che tutto quanto ho detto era stato già detto in precedenza.
Scusate, è che ieri ho bevuto un po' troppo e mi sento rimbecillito. 
Il riferimento bibliografico resta valido, comunque.
[tex]\begin{cases} w'(z)=w(z) \\
w(0)=1 \end{cases}[/tex]
è un esercizio semplice dimostrare che l'unica soluzione analitica di questa equazione è [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}[/tex]. (traccia: scrivere [tex]w(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n[/tex], imporre che [tex]w'(z)=w(z)[/tex], dimostrare per induzione che [tex]a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)!}[/tex]. Infine osservare che la serie converge per ogni [tex]z\in\mathbb{C}[/tex], definendo quindi una funzione intera).
In termini di questa funzione si possono definire poi [tex]\sin, \cos, \sinh, \cosh[/tex]:
[tex]\displaystyle \cos(z)=\frac{\exp(\imath z)+\exp(-\imath z)}{2},\ \sin(z)=\frac{\exp(\imath z)-\exp(-\imath z)}{2 \imath}[/tex]
[tex]\displaystyle \cosh(z)=\frac{\exp(z)+\exp(-z)}{2},\ \sinh(z)=\frac{\exp(z)-\exp(-z)}{2}[/tex]
e con queste definizioni è immediato mostrare che
[tex]\displaystyle \cosh(z)=\cos(\imath z),\ \sinh(z)=-\imath \sin (\imath z)[/tex].
Vabbé. Questo è un approccio alla definizione delle funzioni trigonometriche e iperboliche. Consiglio la lettura di Visual Complex Analysis di T. Needham, capitolo II paragrafi The exponential function e Cosine and sine (e, in subordine, anche il paragrafo The Euler Formula del capitolo I) per avere un chiaro quadro geometrico di queste funzioni.
[EDIT] Ooops!!! Vedo che ho praticamente scoperto l'acqua calda, visto che tutto quanto ho detto era stato già detto in precedenza.
Scusate, è che ieri ho bevuto un po' troppo e mi sento rimbecillito. Il riferimento bibliografico resta valido, comunque.
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