Singolarità su circuitazione di un campo vettoriale
Salve a tutti, oggi nella lezione di analisi due mi è sfuggito un passaggio...
Stavamo analizzando il lavoro come differenza di potenziale su due punti della parametrizzazione di \gamma... se \gamma è chiusa, il campo è irrotazionale e D è semplicemente connesso, Il lavodo di F su \gamma vale zero... perfetto, nulla di nuovo, stesso discorso del campo elettrico a fisica...
Abbiamo poi analizzato il caso in cui \gamma fosse chiusa ma l' insieme di definizione di F non fosse semplicemente connesso dentro \gamma ( e Rot(F)=0) ... cadevano allora le ipotesi del teorema del campo conservativo... nonostante questo riuscivo a trovare un Potenziale di F e trovavo che il lavoro per ogni \gamma chiusa che conteneva la singolarità valeva 2pi... Perchè? qualcuno saprebbe darmi qualche info in più sulla questione?
grazie
ciao a tutti
Stavamo analizzando il lavoro come differenza di potenziale su due punti della parametrizzazione di \gamma... se \gamma è chiusa, il campo è irrotazionale e D è semplicemente connesso, Il lavodo di F su \gamma vale zero... perfetto, nulla di nuovo, stesso discorso del campo elettrico a fisica...
Abbiamo poi analizzato il caso in cui \gamma fosse chiusa ma l' insieme di definizione di F non fosse semplicemente connesso dentro \gamma ( e Rot(F)=0) ... cadevano allora le ipotesi del teorema del campo conservativo... nonostante questo riuscivo a trovare un Potenziale di F e trovavo che il lavoro per ogni \gamma chiusa che conteneva la singolarità valeva 2pi... Perchè? qualcuno saprebbe darmi qualche info in più sulla questione?
grazie
ciao a tutti
Risposte
Ciao lucamassa,
Benvenuto sul forum!
Se l'insieme di definizione di $\mathbf{F} $ non è semplicemente connesso, con la sola informazione che il campo è irrotazionale (cioè $ rot \mathbf{F} = 0 $) nulla si può dire sull'eventualità che esso possa essere conservativo, contrariamente a quanto accade se l'insieme di definizione di $\mathbf{F} $ è semplicemente connesso.
Beh, bisognerebbe dare un'occhiata a $\mathbf{F} $, ma diciamo che in generale ci sarà una parametrizzazione della curva (circonferenza) $vec{r}(t) = Rcost \mathbf{i} + Rsint \mathbf{j}, t \in [0, 2\pi) $ tale che alla fine verrà fuori una cosa del tipo seguente:
$\int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot \text{d}vec{r} = ... = \int_0^{2\pi} \text{d}t = 2\pi $
Benvenuto sul forum!
Se l'insieme di definizione di $\mathbf{F} $ non è semplicemente connesso, con la sola informazione che il campo è irrotazionale (cioè $ rot \mathbf{F} = 0 $) nulla si può dire sull'eventualità che esso possa essere conservativo, contrariamente a quanto accade se l'insieme di definizione di $\mathbf{F} $ è semplicemente connesso.
"lucamassa":
nonostante questo riuscivo a trovare un potenziale di $\mathbf{F}$ e trovavo che il lavoro per ogni $\gamma $ chiusa che conteneva la singolarità valeva $2\pi $... Perchè?
Beh, bisognerebbe dare un'occhiata a $\mathbf{F} $, ma diciamo che in generale ci sarà una parametrizzazione della curva (circonferenza) $vec{r}(t) = Rcost \mathbf{i} + Rsint \mathbf{j}, t \in [0, 2\pi) $ tale che alla fine verrà fuori una cosa del tipo seguente:
$\int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot \text{d}vec{r} = ... = \int_0^{2\pi} \text{d}t = 2\pi $
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