Singolarità isolate: esercizi con qualche dubbio
Ho iniziato a fare un po' di esercizi sulle singolarità isolate. Purtroppo guardando in giro ho trovato solo cosa dalla semplicità disarmante o altre ben più complicate, e in queste ultime i dubbi nascono a volontà. 
Inizio con un esercizo che penso sia giusto, ma non mi dispiacerebbe avere un vostro parere:
Sia $f(z)=z/(z^n-1)$ con $n>1$
Il denominatore si annulla in $n$ punti $z_k=e^((2kpii)/n)$, pertanto può essere riscritto come:
$(z^n-1)=\prod_{j=0}^(n-1) (z-z_j)$ e, conseguentemente, per ogni $z_k$ posso scrivere $f(z)$ come:
$f(z)=(h(z))/(z-z_k)$ , con $h(z)=z\prod_{j=0, j!=k}^(n-1) 1/(z-z_j)$
Ma $h(z)$ è analitica e diversa da zero in $z_k$, perciò posso concludere che i vari $z_k$ sono tutti poli del primo ordine.
In quest'altro esercizio mi blocco invece a metà strada:
sia $f(z)=z/(senz)$
il denominatore si annulla per $z_k=kpi$. Per $k=0$, $z_0=0$ e facendo:
$\lim_{z \to 0}f(z)=1$
dimostro abbastanza agevolmente che $z_0=0$ è una singolarità eliminabile. Quando però vado a studiare i casi per $z_k=kpi$ (con $k!=0$), mi perdo e non riesco ad arrivare ad una conclusione. Qualche suggerimento?
Inizio con un esercizo che penso sia giusto, ma non mi dispiacerebbe avere un vostro parere:
Sia $f(z)=z/(z^n-1)$ con $n>1$
Il denominatore si annulla in $n$ punti $z_k=e^((2kpii)/n)$, pertanto può essere riscritto come:
$(z^n-1)=\prod_{j=0}^(n-1) (z-z_j)$ e, conseguentemente, per ogni $z_k$ posso scrivere $f(z)$ come:
$f(z)=(h(z))/(z-z_k)$ , con $h(z)=z\prod_{j=0, j!=k}^(n-1) 1/(z-z_j)$
Ma $h(z)$ è analitica e diversa da zero in $z_k$, perciò posso concludere che i vari $z_k$ sono tutti poli del primo ordine.
In quest'altro esercizio mi blocco invece a metà strada:
sia $f(z)=z/(senz)$
il denominatore si annulla per $z_k=kpi$. Per $k=0$, $z_0=0$ e facendo:
$\lim_{z \to 0}f(z)=1$
dimostro abbastanza agevolmente che $z_0=0$ è una singolarità eliminabile. Quando però vado a studiare i casi per $z_k=kpi$ (con $k!=0$), mi perdo e non riesco ad arrivare ad una conclusione. Qualche suggerimento?
Risposte
Il primo è corretto. Per il secondo, osserva che puoi sostituire $w=z-k\pi$ con $w\to 0$ da cui
$$\sin z=\sin(w+k\pi)=\sin w\cos(k\pi)+\sin(k\pi)\cos w=(-1)^k\sin w$$
dal momento che $\sin(k\pi)=0,\ \cos(k\pi)=(-1)^k$. Pertanto il limite diventa
$$\lim_{w\to 0}\frac{w+k\pi}{\sin w}=\lim_{w\to 0}\left(\frac{w}{\sin w}+\frac{k\pi}{\sin w}\right)$$
Cosa puoi concludere?
$$\sin z=\sin(w+k\pi)=\sin w\cos(k\pi)+\sin(k\pi)\cos w=(-1)^k\sin w$$
dal momento che $\sin(k\pi)=0,\ \cos(k\pi)=(-1)^k$. Pertanto il limite diventa
$$\lim_{w\to 0}\frac{w+k\pi}{\sin w}=\lim_{w\to 0}\left(\frac{w}{\sin w}+\frac{k\pi}{\sin w}\right)$$
Cosa puoi concludere?
Che gli $z_k=kpi$ non sono singolarità eliminabili, dico bene?
Tra l'altro ho avuto una mezza intuizione prima di vedere il tuo post e sono arrivato a queste conclusioni:
$\lim_{z \to kpi}f(z)=+infty$ (analogo al tuo, bastava osservare che il numeratore è una costante e il denominatore tende a zero). Supponendo $z_k$ polo del primo ordine, $\lim_{z \to kpi}f(z)(z-z_k)$ dovrebbe esistere finito e diverso da $0$. Ora:
$\lim_{z \to kpi}f(z)(z-z_k)=\lim_{z \to kpi}(z^2-zkpi)/(sen(z))=\lim_{z \to kpi}(2z-kpi)/(cos(z))=(kpi)/(-1)^k!=0$
e tanto dovrebbe bastare per dimostrarlo.
Un altro esercizio che mi ha mandato in crisi ancor più dei precedenti è questo:
sia $f(z)=(1-cosz)/(e^(2iz)-1)$
Il denominatore si annulla per $z_k=kpi$ (con $k>=0$). Quello che non mi torna è che:
$\lim_{z \to kpi}f(z)=(senz)/(2e^(2iz))=0$
e dunque gli $z_k=kpi$ dovrebbero essere singolarità eliminabili. Nella dispensa da cui l'ho preso però distinguono tra $z_(2k)=2kpi$ (singolarità eliminabili) e $z_(2k+1)$ (poli del primo ordine). Perchè?
Probabilmente è il fattore 2 dell'esponenziale che mi "disturba"; d'altronde, se non ci fosse, la distinzione tra pari e dispari andrebbe fatta fin dalla definizione degli $z_k$ che annullano il denominatore. Ma così, proprio non mi torna.
PS: grazie mille Ciampax per l'aiuto
Tra l'altro ho avuto una mezza intuizione prima di vedere il tuo post e sono arrivato a queste conclusioni:
$\lim_{z \to kpi}f(z)=+infty$ (analogo al tuo, bastava osservare che il numeratore è una costante e il denominatore tende a zero). Supponendo $z_k$ polo del primo ordine, $\lim_{z \to kpi}f(z)(z-z_k)$ dovrebbe esistere finito e diverso da $0$. Ora:
$\lim_{z \to kpi}f(z)(z-z_k)=\lim_{z \to kpi}(z^2-zkpi)/(sen(z))=\lim_{z \to kpi}(2z-kpi)/(cos(z))=(kpi)/(-1)^k!=0$
e tanto dovrebbe bastare per dimostrarlo.
Un altro esercizio che mi ha mandato in crisi ancor più dei precedenti è questo:
sia $f(z)=(1-cosz)/(e^(2iz)-1)$
Il denominatore si annulla per $z_k=kpi$ (con $k>=0$). Quello che non mi torna è che:
$\lim_{z \to kpi}f(z)=(senz)/(2e^(2iz))=0$
e dunque gli $z_k=kpi$ dovrebbero essere singolarità eliminabili. Nella dispensa da cui l'ho preso però distinguono tra $z_(2k)=2kpi$ (singolarità eliminabili) e $z_(2k+1)$ (poli del primo ordine). Perchè?
Probabilmente è il fattore 2 dell'esponenziale che mi "disturba"; d'altronde, se non ci fosse, la distinzione tra pari e dispari andrebbe fatta fin dalla definizione degli $z_k$ che annullano il denominatore. Ma così, proprio non mi torna.
PS: grazie mille Ciampax per l'aiuto
Ovviamente i punti $z=k\pi$ sono poli tutti di ordine 1. Per l'altro io proverei il "calcolo brutale" usando la definizione: prova a calcolare separatamente il limite per $z\to 2k\pi$ e per $z\to (2k+1)\pi$ della funzione
$$\frac{1-\cos z}{e^{2iz}-1}\cdot(z-z_m)^n$$
con $m=2k,\ m=2k+1$ nei due casi e $n$ generico, e vedi cosa viene fuori.
$$\frac{1-\cos z}{e^{2iz}-1}\cdot(z-z_m)^n$$
con $m=2k,\ m=2k+1$ nei due casi e $n$ generico, e vedi cosa viene fuori.
Tutto ciò è MOLTO curioso. O almeno, per me lo è dato che pensavo non cambiasse nulla poichè l'esponenziale con fattore 2 faceva diventare pari anche gli $z_k$ dispari. Invece dai conti che ho fatto qui sotto risultare chiaramente che un ruolo niente affatto secondario lo gioca anche il coseno al numeratore. Non so perchè me ne stia stupendo e non ci abbia pensato prima...
$z_k$ "pari":
$\lim_{z \to 2kpi}f(z)=\lim_{z \to 2kpi}(sen(z))/(2zie^(2iz))=0$ => singolarità eliminabili
per puro scrupolo ho provato a verificare che non siano poli del primo ordine ed in effetti il limite viene $0$, cosa che non è "accettabile".
$z_k$ "dispari":
$\lim_{z \to (2k+1)pi}f(z)=(1-(-1))/(denom\rightarrow0)=+infty$ => non sono singolarità eliminabili
$\lim_{z \to (2k+1)pi}f(z)(z-(2k+1)pi)=\lim_{z \to (2k+1)pi}(1-cos(z)+zsen(z)-(2k+1)pisen(z))/(2ize^(2iz))!=0$ => poli del primo ordine
Saliamo di livello con questo esercizio:
sia $f(z)=e^z/(tg(z))$ (F1)
Qua entro già in crisi nel cercare gli $z_k$
Il denominatore non è definito per $z_k=pi/2+kpi$ e si annulla per $z_k=kpi$, quindi dovrei lavorare su questi valori. Ma se riscrivo la funzione nel seguente modo:
$f(z)=e^z/(tg(z))=(e^zcos(z))/(sen(z))$ (F2)
dovrei valutare il comportamento dei soli $z_k=kpi$.
Il buon senso mi direbbe di valutare gli $z_k$ di (F1), ma se mi fossi trovato di fronte a (F2) come funzione di partenza, non credo mi sarebbe venuta la tentazione di riscriverla nella forma (F1), per cui mi sarei limitato ai soli $z_k=kpi$. E allora sono io che, nel riscrivere la tangente, vado a togliere delle soluzioni o c'è altro che mi sfugge? Purtroppo di questo esercizio non ho soluzioni, quindi sono proprio in alto mare.
$z_k$ "pari":
$\lim_{z \to 2kpi}f(z)=\lim_{z \to 2kpi}(sen(z))/(2zie^(2iz))=0$ => singolarità eliminabili
per puro scrupolo ho provato a verificare che non siano poli del primo ordine ed in effetti il limite viene $0$, cosa che non è "accettabile".
$z_k$ "dispari":
$\lim_{z \to (2k+1)pi}f(z)=(1-(-1))/(denom\rightarrow0)=+infty$ => non sono singolarità eliminabili
$\lim_{z \to (2k+1)pi}f(z)(z-(2k+1)pi)=\lim_{z \to (2k+1)pi}(1-cos(z)+zsen(z)-(2k+1)pisen(z))/(2ize^(2iz))!=0$ => poli del primo ordine
Saliamo di livello con questo esercizio:
sia $f(z)=e^z/(tg(z))$ (F1)
Qua entro già in crisi nel cercare gli $z_k$
Il denominatore non è definito per $z_k=pi/2+kpi$ e si annulla per $z_k=kpi$, quindi dovrei lavorare su questi valori. Ma se riscrivo la funzione nel seguente modo:
$f(z)=e^z/(tg(z))=(e^zcos(z))/(sen(z))$ (F2)
dovrei valutare il comportamento dei soli $z_k=kpi$.
Il buon senso mi direbbe di valutare gli $z_k$ di (F1), ma se mi fossi trovato di fronte a (F2) come funzione di partenza, non credo mi sarebbe venuta la tentazione di riscriverla nella forma (F1), per cui mi sarei limitato ai soli $z_k=kpi$. E allora sono io che, nel riscrivere la tangente, vado a togliere delle soluzioni o c'è altro che mi sfugge? Purtroppo di questo esercizio non ho soluzioni, quindi sono proprio in alto mare.
Procedi riscrivendo la tangente usando il seno e il coseno, è meglio. In ogni caso, prova a vedere cosa succede se $z$ è uno dei valori in cui la tangente non è definita, sempre usandola definizione.
Ok, l'importante era capire se potevo o meno escludere a priori quei $z_k=pi/2+kpi$. In buona sostanza posso usare l'altra formula ma con l'avvertenza di valutarla anche in quei valori che, di suo, non avrebbe come "critici".
Sperando di non aver sbagliato, con $f(z)=(e^zcosz)/(senz)$, si ha:
$\lim_{z \to pi/2+kpi}f(z)=0$
dunque gli $z_k=pi/2+kpi$ sono punti di singolarità eliminabili.
$\lim_{z \to kpi}f(z)=\infty$
quindi gli $z_k=kpi$ non sono punti di singolarità eliminabili, ma bensì poli del primo ordine in quanto:
$\lim_{z \to kpi}f(z)(z-kpi)=\lim_{z \to kpi}(e^z((1-k π+z) cos(z)+(k π-z) sin(z)))/(cosz)=(e^(kpi)((-1)^k+0))/(-1)^k=e^(kpi)$
Per curiosità, visto che spesso si ricavano informazioni anche da $g(z)=1/f(z)$, in questo esercizio avrebbe avuto senso studiare $g(z)$ (con $f(z)=1/(tgz)$), ricavarne informazioni su $f(z)$ e poi osservare che veniva moltiplicata per $e^z$, che essendo analitica non dovrebbe "dare problemi"?
$\lim_{z \to pi/2+kpi}f(z)=0$
dunque gli $z_k=pi/2+kpi$ sono punti di singolarità eliminabili.
$\lim_{z \to kpi}f(z)=\infty$
quindi gli $z_k=kpi$ non sono punti di singolarità eliminabili, ma bensì poli del primo ordine in quanto:
$\lim_{z \to kpi}f(z)(z-kpi)=\lim_{z \to kpi}(e^z((1-k π+z) cos(z)+(k π-z) sin(z)))/(cosz)=(e^(kpi)((-1)^k+0))/(-1)^k=e^(kpi)$
Per curiosità, visto che spesso si ricavano informazioni anche da $g(z)=1/f(z)$, in questo esercizio avrebbe avuto senso studiare $g(z)$ (con $f(z)=1/(tgz)$), ricavarne informazioni su $f(z)$ e poi osservare che veniva moltiplicata per $e^z$, che essendo analitica non dovrebbe "dare problemi"?
Sì, funziona anche così.
Tutto ciò si lega bene con un esercizio che mi ha lasciato un dubbio. Sia:
$f(z)=sen(z)sen(1/z)$
E' facile dimostrare che $sen(1/z)$ ha una singolarità essenziale in $z_0=0$. Poichè $senz$ è analitica, è lecito dire che allora $f(z)$ ha in $z_0=0$ una singolarità essenziale senza ricorrere a limiti, serie etc?
$f(z)=sen(z)sen(1/z)$
E' facile dimostrare che $sen(1/z)$ ha una singolarità essenziale in $z_0=0$. Poichè $senz$ è analitica, è lecito dire che allora $f(z)$ ha in $z_0=0$ una singolarità essenziale senza ricorrere a limiti, serie etc?
Certo: del resto vedi da te che facendo il limite di quella funzione moltiplicata per qualsiasi $z^n$ non ne esci fuori.
Assolutamente, solo trovo abbastanza antipatico (e mi fermo qui 
) che certe proprietà derivanti dalla manipolazione di certe formule non siano messe in chiaro, specie se ti semplificano la vita con funzioni complicate. Per dire, se non ho sbagliato a ragionare, se due funzioni $f(z)$ e $g(z)$ hanno un polo in $z_0$ rispettivamente di ordine $m$ e $n$, allora tale punto è un polo di ordine $m+n$ per la funzione $a(z)=f(z)g(z)$. Se me lo avessero detto fin da subito, magari qualche esercizio mi avrebbe fatto penare di meno.
) che certe proprietà derivanti dalla manipolazione di certe formule non siano messe in chiaro, specie se ti semplificano la vita con funzioni complicate. Per dire, se non ho sbagliato a ragionare, se due funzioni $f(z)$ e $g(z)$ hanno un polo in $z_0$ rispettivamente di ordine $m$ e $n$, allora tale punto è un polo di ordine $m+n$ per la funzione $a(z)=f(z)g(z)$. Se me lo avessero detto fin da subito, magari qualche esercizio mi avrebbe fatto penare di meno.
In realtà quello che hai appena enunciato è un tipico "esercizio"!
Ecco, magari messo tra le ultime cose così intanto uno si spacca per bene la testa e quando sul più bello lo scopre non sa più dove applicarlo visto che ha finito gli esercizi
Confido mi torni utile per i residui.
PS: grazie ancora per l'aiuto
Confido mi torni utile per i residui.
PS: grazie ancora per l'aiuto
Figurati, quando vuoi (e finché posso).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo