Singolarità isolate
Ciao a tutti, ho qualche dubbio nel trovare e classificare le singolarità isolate nei seguenti casi:
1) $f(z)=z^(-1)/sin(z^(-2))$
2) $f(z)=sinhz/(e^z+1)$
Io avevo pensato di procedere così:
1) Le singolarità isolate sono date da
$sin(z^(-2))=0$
$z^(-2)=kpi$
$z^2=1/(kpi)$
$z=\pm 1/sqrt(kpi)$, $k>0$ che sono poli semplici.
primo dubbio: nelle soluzioni trova anche come singolarità $z=\pm i/sqrt(kpi)$ ma l'equazione $z^2=1/(kpi)$ non dovrebbe avere solo due soluzioni?
Inoltre io ho trovato come singolarità $z=0$ e l'ho classificata come singolarità eliminabile ma nelle soluzioni c'è scritto che $z=0$ non è una singolarità isolata...perchè?
2)Io prima di procedere ho fatto i seguenti passaggi:
$f(z)=1/2(e^z-e^(-z)) 1/(e^z+1)=1/2((e^(2z)-1)/e^z) 1/(e^z+1)=1/2 ((e^z+1)(e^z-1))/(e^z(e^z+1))=1/2(e^z-1)/e^z$ ma scritta così la funzione non presenta singolarità quindi penso di aver fatto qualche passaggio poco lecito...
Grazie mille in anticipo a tutti!
1) $f(z)=z^(-1)/sin(z^(-2))$
2) $f(z)=sinhz/(e^z+1)$
Io avevo pensato di procedere così:
1) Le singolarità isolate sono date da
$sin(z^(-2))=0$
$z^(-2)=kpi$
$z^2=1/(kpi)$
$z=\pm 1/sqrt(kpi)$, $k>0$ che sono poli semplici.
primo dubbio: nelle soluzioni trova anche come singolarità $z=\pm i/sqrt(kpi)$ ma l'equazione $z^2=1/(kpi)$ non dovrebbe avere solo due soluzioni?
Inoltre io ho trovato come singolarità $z=0$ e l'ho classificata come singolarità eliminabile ma nelle soluzioni c'è scritto che $z=0$ non è una singolarità isolata...perchè?
2)Io prima di procedere ho fatto i seguenti passaggi:
$f(z)=1/2(e^z-e^(-z)) 1/(e^z+1)=1/2((e^(2z)-1)/e^z) 1/(e^z+1)=1/2 ((e^z+1)(e^z-1))/(e^z(e^z+1))=1/2(e^z-1)/e^z$ ma scritta così la funzione non presenta singolarità quindi penso di aver fatto qualche passaggio poco lecito...
Grazie mille in anticipo a tutti!
Risposte
Proprio nessuno? 
Anche solo uno spunto su cui ragionare andrebbe benissimo.. 
Provo a fare un'ultima richiesta
Spunto 1 (esercizio 1): Quali sono le radici dell'equazione:
\[
z^2 = \frac{1}{k\pi}
\]
con \(k\in \mathbb{Z}\) e \(k<0\)?
Spunto 2 (esercizio 1): L'insieme delle singolarità determinate nel primo punto dell'esercizio ha punti di accumulazione? Quali?
Spunto 3 (esercizio 2): I passaggi algebrici sono leciti... Ma per quali valori di \(z\)?
\[
z^2 = \frac{1}{k\pi}
\]
con \(k\in \mathbb{Z}\) e \(k<0\)?
Spunto 2 (esercizio 1): L'insieme delle singolarità determinate nel primo punto dell'esercizio ha punti di accumulazione? Quali?
Spunto 3 (esercizio 2): I passaggi algebrici sono leciti... Ma per quali valori di \(z\)?
Ciao, grazie per la risposta.
Spunto 1: vengono fuori quattro radici perchè bisogna distinguere se $k<0$ o $k>0$.
Spunto 2: $z=0$ è punto di accumulazione?
Spunto 3: per poter semplificare ho dovuto supporre che $e^z+1 != 0$. Quindi i punti singolari li trovo quando invece $e^z+1 = 0$ giusto?
Spunto 1: vengono fuori quattro radici perchè bisogna distinguere se $k<0$ o $k>0$.
Spunto 2: $z=0$ è punto di accumulazione?
Spunto 3: per poter semplificare ho dovuto supporre che $e^z+1 != 0$. Quindi i punti singolari li trovo quando invece $e^z+1 = 0$ giusto?
1. Esatto.
2. Esatto.
3. Esatto.
Spunto 2+1: Quindi la singolarità \(z_0=0\) è isolata?
Spunto 3+1: Hai capito che \(f(z) = \frac{\sinh z}{e^z +1}\) e \(g(z) := \frac{e^z -1}{2e^z}\) coincidono in \(\Omega :=\mathbb{C}\setminus \{z\in \mathbb{C}:\ e^z\neq -1\}\), che è un insieme aperto il cui complementare è fatto da punti isolati. Se \(z_0\in \mathbb{C}\setminus \Omega =\{z\in \mathbb{C}:\ e^z =-1\}\) hai:
\[
\lim_{z\to z_0} f(z) = \lim_{z\to z_0} g(z)
\]
quindi...
2. Esatto.
3. Esatto.
Spunto 2+1: Quindi la singolarità \(z_0=0\) è isolata?
Spunto 3+1: Hai capito che \(f(z) = \frac{\sinh z}{e^z +1}\) e \(g(z) := \frac{e^z -1}{2e^z}\) coincidono in \(\Omega :=\mathbb{C}\setminus \{z\in \mathbb{C}:\ e^z\neq -1\}\), che è un insieme aperto il cui complementare è fatto da punti isolati. Se \(z_0\in \mathbb{C}\setminus \Omega =\{z\in \mathbb{C}:\ e^z =-1\}\) hai:
\[
\lim_{z\to z_0} f(z) = \lim_{z\to z_0} g(z)
\]
quindi...
Spunto 2+1: $z_0=0$ non puo' essere una singolarità isolata visto che $z_0=0$ è punto di accumulazione.
Spunto 3+1: $ lim_(z->z_0)f(z)=lim_(z->z_0)g(z)=1/2$ quindi si tratta di singolarità eliminabili.
Puo' andare?
Spunto 3+1: $ lim_(z->z_0)f(z)=lim_(z->z_0)g(z)=1/2$ quindi si tratta di singolarità eliminabili.
Puo' andare?
Certo. 
perfetto, grazie!
Aspetta un attimo... Devi fare bene i conti nel limite, poiché se \(e^{z_0}=-1\) allora:
\[
\lim_{z\to z_0} \frac{e^z -1}{2e^z} =1 \neq \frac{1}{2}\; .
\]
\[
\lim_{z\to z_0} \frac{e^z -1}{2e^z} =1 \neq \frac{1}{2}\; .
\]
Eh già, è vero!
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