Singolarità isolata
Buongiorno a tutti. Devo studiare le singolarità della seguente funzione:
\[
f(z)=\frac{z^{2}}{\sin z}
\]
In particolare mi interessa quello che capita in $z=0$. E' corretto dire che si tratta di una singolarità eliminabile? Il problema è che non sono in grado di giustificare questa affermazione. Diciamo che volevo evitare di calcolarmi lo sviluppo di $\frac{1}{\sin z}$ in $z=0$. Ed allo stesso tempo non sono sicuro del calcolo di
\[
\lim_{z \to 0}\frac{z^{2}}{\sin z}
\]
che mi verrebbe $0$.
\[
f(z)=\frac{z^{2}}{\sin z}
\]
In particolare mi interessa quello che capita in $z=0$. E' corretto dire che si tratta di una singolarità eliminabile? Il problema è che non sono in grado di giustificare questa affermazione. Diciamo che volevo evitare di calcolarmi lo sviluppo di $\frac{1}{\sin z}$ in $z=0$. Ed allo stesso tempo non sono sicuro del calcolo di
\[
\lim_{z \to 0}\frac{z^{2}}{\sin z}
\]
che mi verrebbe $0$.
Risposte
Due idee.
In primis, non è difficile dimostrare che $lim_{z \to 0} \frac{sinz}{z}=1$. Quindi che quel limite che proponi faccia zero dovrebbe venire subito (in realtà, basterebbe anche meno: un celebre teorema dovuto a Riemann afferma che è sufficiente che la funzione sia limitata in un intorno della singolarità perché quest'ultima sia eliminabile).
Ad ogni modo, un'altra strada è questa. Lo sviluppo di $1/(sinz)$ non è difficile da ricavare, ma serve un'idea. Usando i primi termini dello sviluppo del seno in 0 scriviamo
\[
\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+...}
\]
Raccogliamo una $z$ a denominatore:
\[
\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z} \frac{1}{1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-...}
\]
Et voilà, per magia il secondo fattore è la somma di una serie geometrica. Detto meglio, pongo $h(z):=\frac{z^2}{3!}-\frac{z^4}{5!}+...$. A patto di prendere $z$ sufficientemente piccolo in modo che questa quantità sia in modulo più piccola di 1, posso scrivere che
\[
\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z} \sum_{n=0}^{\infty} [h(z)]^n
\]
cioè
\[
\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{z^2}{3!}-\frac{z^4}{5!}+...\right)^n
\]
A questo punto, non dovrebbe essere difficile concludere che lo sviluppo di Laurent della tua $f$, centrato in $0$, non contiene potenze con esponente negativo.
In primis, non è difficile dimostrare che $lim_{z \to 0} \frac{sinz}{z}=1$. Quindi che quel limite che proponi faccia zero dovrebbe venire subito (in realtà, basterebbe anche meno: un celebre teorema dovuto a Riemann afferma che è sufficiente che la funzione sia limitata in un intorno della singolarità perché quest'ultima sia eliminabile).
Ad ogni modo, un'altra strada è questa. Lo sviluppo di $1/(sinz)$ non è difficile da ricavare, ma serve un'idea. Usando i primi termini dello sviluppo del seno in 0 scriviamo
\[
\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+...}
\]
Raccogliamo una $z$ a denominatore:
\[
\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z} \frac{1}{1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-...}
\]
Et voilà, per magia il secondo fattore è la somma di una serie geometrica. Detto meglio, pongo $h(z):=\frac{z^2}{3!}-\frac{z^4}{5!}+...$. A patto di prendere $z$ sufficientemente piccolo in modo che questa quantità sia in modulo più piccola di 1, posso scrivere che
\[
\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z} \sum_{n=0}^{\infty} [h(z)]^n
\]
cioè
\[
\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{z^2}{3!}-\frac{z^4}{5!}+...\right)^n
\]
A questo punto, non dovrebbe essere difficile concludere che lo sviluppo di Laurent della tua $f$, centrato in $0$, non contiene potenze con esponente negativo.
Ti ringrazio molto. In effetti lo sviluppo di $1/\sin z$ si poteva calcolare senza troppi problemi, me lo facevo più laborioso. Grazie mille!!
Ma figurati, Max, è un piacere.
Una domanda sempre in merito a questa funzione. Posso dire che $z=\pi$ e $z=-\pi$ sono poli di ordine 1?
"maxsiviero":
Una domanda sempre in merito a questa funzione. Posso dire che $z=\pi$ e $z=-\pi$ sono poli di ordine 1?
Certo; e anzi, puoi dire molto di più. Le singolarità (isolate) di quella funzione sono tutti e soli gli $z_k=k\pi$, con $k \in \ZZ$. Il caso $k=0$ è già stato ampiamente discusso; per ogni altro $k in ZZ setminus {0}$, poiché sia $\frac{d}{dz}\sin z | _{z=kpi}=cos(k\pi) =(-1)^k \ne 0$ sia $(k \pi)^2 \ne 0$, posso concludere che $z_k$ è un polo semplice e il residuo è
\[
\text{Res}(f, z_k) = \frac{(k\pi)^2}{(-1)^k}= (-1)^k k^2 \pi ^2
\]
Tutto chiaro?
Tutto chiarissimo, grazie.
@max: Non so se te li avevo già segnalati, ma alcuni studi di funzione svolti li trovi su questi miei fogli.
Non serve dirlo, ma se trovate errori, segnalatemeli.
Non serve dirlo, ma se trovate errori, segnalatemeli.
@Gugo
Ti ringrazio della segnalazione, ho scaricato il file che ritengo estremamente utile e (a mio modesto parere) molto ben fatto.
Ti ringrazio della segnalazione, ho scaricato il file che ritengo estremamente utile e (a mio modesto parere) molto ben fatto.
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