Singolarità all'infinito in campo complesso
Buongiorno a tutti e buon inizio di settimana...
volevo una mano su come classificare i punti di singolarità all'infinito....
se io ho la funzione $f(z)$ e voglio classificare i punti di singolarità all'infinito devo vedere che tipo di singolarità presenta in $w=0$ la funzione $f(1/w)$
Fin qui ho ragione?
Una cosa che non ho capito è quando posso dire che la funzione è singolare all'infinito?? Cioè in che casi?? Mica tutte le funzioni presentano singolarità all'infinito??
Un esempio concreto può essere:
$f(z)=(z-1)/(z^2+1)$ che dovrebbe avere all'infinito una singolarità eliminabile....Giusto??
Grazie mille per la mano e se potete datemi qualche delucidazione su questo argomento
volevo una mano su come classificare i punti di singolarità all'infinito....
se io ho la funzione $f(z)$ e voglio classificare i punti di singolarità all'infinito devo vedere che tipo di singolarità presenta in $w=0$ la funzione $f(1/w)$
Fin qui ho ragione?
Una cosa che non ho capito è quando posso dire che la funzione è singolare all'infinito?? Cioè in che casi?? Mica tutte le funzioni presentano singolarità all'infinito??
Un esempio concreto può essere:
$f(z)=(z-1)/(z^2+1)$ che dovrebbe avere all'infinito una singolarità eliminabile....Giusto??
Grazie mille per la mano e se potete datemi qualche delucidazione su questo argomento
Risposte
Per quanto riguarda l'esempio, hai ragione: la [tex]$f(z)$[/tex] è olomorfa intorno a [tex]$\infty$[/tex] ed ha [tex]$\lim_{z\to \infty} f(z)=0$[/tex] (perchè risulta [tex]$|f(z)|\leq \tfrac{|z|+1}{||z|^2-1|}$[/tex] per la disuguaglianza triangolare, ed il secondo termine va a zero quando [tex]$|z|\to +\infty$[/tex]); ne consegue che la singolarità in [tex]$\infty$[/tex] è di tipo eliminabile.
Per quanto riguarda la questione generale, la risposta è che una regola generale non c'è: insomma, devi andare a vedere cosa succede caso per caso.
Gli unici casi in cui sai subito dire che la tua funzione ha sicuramente una singolarità in [tex]$\infty$[/tex] sono due:
1. la funzione è intera (ossia è olomorfa in tutto il piano complesso, ossia il suo sviluppo di Taylor di centro [tex]$0$[/tex] converge in tutto il piano), come [tex]$\sin z,\ e^z, \cosh z, z^4+3z^2$[/tex];
2. la funzione ha un insieme di singolarità che si accumulano in [tex]$\infty$[/tex], come ad esempio [tex]$\tfrac{1}{\sin z}$[/tex].
Nel caso 1, la singolarità all'infinito è polare od essenziale a seconda che la funzione intera è un polinomio (tipo [tex]$z^4+3z^2$[/tex] o [tex]$z^{1280} +2152 z^{146}$[/tex]) oppure una trascendente (tipo [tex]$e^z, \sin z, \cosh z$[/tex]); nel caso 2, la singolarità all'infinito non è classificabile.
Per quanto riguarda la questione generale, la risposta è che una regola generale non c'è: insomma, devi andare a vedere cosa succede caso per caso.
Gli unici casi in cui sai subito dire che la tua funzione ha sicuramente una singolarità in [tex]$\infty$[/tex] sono due:
1. la funzione è intera (ossia è olomorfa in tutto il piano complesso, ossia il suo sviluppo di Taylor di centro [tex]$0$[/tex] converge in tutto il piano), come [tex]$\sin z,\ e^z, \cosh z, z^4+3z^2$[/tex];
2. la funzione ha un insieme di singolarità che si accumulano in [tex]$\infty$[/tex], come ad esempio [tex]$\tfrac{1}{\sin z}$[/tex].
Nel caso 1, la singolarità all'infinito è polare od essenziale a seconda che la funzione intera è un polinomio (tipo [tex]$z^4+3z^2$[/tex] o [tex]$z^{1280} +2152 z^{146}$[/tex]) oppure una trascendente (tipo [tex]$e^z, \sin z, \cosh z$[/tex]); nel caso 2, la singolarità all'infinito non è classificabile.
La singolarità all'infinito acquisisce in sostanza il tipo di discontinuità presente nello $0_CC$ della $f(1/omega)$.
Per la tua $f(z)$.. Beh, la $f(1/omega)$ non è discontinua nello 0. Dunque essa è regolare all'infinito. D'altro canto questo lo potevi vedere osservando che la $f(z)$ converge al crescere di $z$.
Ps: too late.
Per la tua $f(z)$.. Beh, la $f(1/omega)$ non è discontinua nello 0. Dunque essa è regolare all'infinito. D'altro canto questo lo potevi vedere osservando che la $f(z)$ converge al crescere di $z$.
Ps: too late.
Mi attacco a questo topic per un dubbio sulle singolarità all'infinito...
Si diceva che la singolarità di $f(z)$ in $z = \infty$ è per definizione dello stesso tipo della singolarità di $f(1/w)$ in $w = 0$.
Come esempio pratico uso una funzione un po' più semplice di quella di prima: $f(z) = 1/z$, quindi $f(1/w) = w$, che in 0 non è singolare. Bene, a questo punto calcolo il residuo: per il residuo la funzione va moltiplicata per $-1/w^2$, e quindi risulta essere $Res(f(z), z = \infty) = Res(f(1/w)\cdot(-1/w^2), w = 0) = -1$. Ma se il residuo è diverso da zero vuol dire che un polo c'è! Non torna il fatto che ho una singolarità eliminabile!
Dove sto facendo confusione?
Grazie...
Si diceva che la singolarità di $f(z)$ in $z = \infty$ è per definizione dello stesso tipo della singolarità di $f(1/w)$ in $w = 0$.
Come esempio pratico uso una funzione un po' più semplice di quella di prima: $f(z) = 1/z$, quindi $f(1/w) = w$, che in 0 non è singolare. Bene, a questo punto calcolo il residuo: per il residuo la funzione va moltiplicata per $-1/w^2$, e quindi risulta essere $Res(f(z), z = \infty) = Res(f(1/w)\cdot(-1/w^2), w = 0) = -1$. Ma se il residuo è diverso da zero vuol dire che un polo c'è! Non torna il fatto che ho una singolarità eliminabile!
Dove sto facendo confusione?
Grazie...
Il residuo in \(\infty\) può benissimo essere \(\neq 0\) anche quando \(\infty\) è un punto regolare: questo esempio lo mostra benissimo (poiché infatti in \(\infty\) la funzione \(1/z\) ha uno zero del primo ordine).
Detto altrimenti, l'equivalenza:
\[
z_0 \text{ polo per } f(z) \quad \Leftrightarrow \quad \operatorname{Res}(f(z);z_0)\neq 0
\]
vale solo se \(z_0\) è al finito, i.e. solo se \(z_0 \neq \infty\).
Detto altrimenti, l'equivalenza:
\[
z_0 \text{ polo per } f(z) \quad \Leftrightarrow \quad \operatorname{Res}(f(z);z_0)\neq 0
\]
vale solo se \(z_0\) è al finito, i.e. solo se \(z_0 \neq \infty\).
Ah! Ok...
Però allora lo sviluppo di Laurent all'infinito di $f(z)$ non coincide con lo sviluppo di Laurent in 0 di $f(1/w)$, ma con quello di $f(1/w)\cdot(-1/w^2)$, mentre il tipo di singolarità è quello di $f(1/w)$. È corretto?
Però allora lo sviluppo di Laurent all'infinito di $f(z)$ non coincide con lo sviluppo di Laurent in 0 di $f(1/w)$, ma con quello di $f(1/w)\cdot(-1/w^2)$, mentre il tipo di singolarità è quello di $f(1/w)$. È corretto?
Sono capitato qui con quasi lo stesso problema (ora chiarito), ma mi rimane proprio quest'ultimo dubbio:
E nel caso sia corretto, come mai è così?
"sgnurlo":
Però allora lo sviluppo di Laurent all'infinito di $f(z)$ non coincide con lo sviluppo di Laurent in 0 di $f(1/w)$, ma con quello di $f(1/w)\cdot(-1/w^2)$, mentre il tipo di singolarità è quello di $f(1/w)$. È corretto?
E nel caso sia corretto, come mai è così?
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