Singolarità all'infinito con esponenziale al denominatore
Salve a tutti,
non riesco a capire perchè in $z=infty$ la seguente funzione $$f(z)=\frac{1}{1+exp(1/z)}$$ ha una singolarità eliminabile.
Di solito per studiare la singolarità all'infinito considero la funzione $f(1/w)=\frac{1}{1+e^w}$ per poi vedere se in $w=0$ ho una singolarità. Il problema è che, secondo me in $w=0$, la funzione $f(w)$ è ben definita (tant'è che vale 1/2).
dove sbaglio??
non riesco a capire perchè in $z=infty$ la seguente funzione $$f(z)=\frac{1}{1+exp(1/z)}$$ ha una singolarità eliminabile.
Di solito per studiare la singolarità all'infinito considero la funzione $f(1/w)=\frac{1}{1+e^w}$ per poi vedere se in $w=0$ ho una singolarità. Il problema è che, secondo me in $w=0$, la funzione $f(w)$ è ben definita (tant'è che vale 1/2).
dove sbaglio??
Risposte
Nessuno sa aiutarmi? Avevo già dato un'occhiata agli altri post e agli es in rete ma nessuno è con un $1+ e^(\frac{1}{z})$ al denominatore...molti esercizi sono con $1-...$, quindi in quel caso sono d'accordo che avrebbe senso studiare nella $f(w)$ la singolarità $w=0$. Ma nell'esercizio che ho proposto non capisco proprio...o meglio è vero che $lim_{z\rightarrow infty} \frac{1}{1+ e^(\frac{1}{z})} = 1/2$, ma così è come se stessi trattando infinito come un punto $z_0$ finito..cosa vuol dire? che devo sempre prima verificare quanto vale il limite della $f(z)$ per $z$ che tende a infinito? Quindi, se, ad esempio il limite vale infinito,allora avrei in $z=infty$ un polo?
Lo hai appena dimostrato che la singolarità è eliminabile, visto che puoi calcolare il valore di $f(w)$ con $w=0$.... Tra l'altro applicando la definizione
$$\lim_{z\to\infty} f(z)=\frac{1}{2}$$
per cui sei a posto. Non capisco cosa ti turbi...
$$\lim_{z\to\infty} f(z)=\frac{1}{2}$$
per cui sei a posto. Non capisco cosa ti turbi...
se per capire che infinito è una singolarità, devo studiare se in $w=0$ la funzione $f(z=1/w)$ ha una singolarità....la funzione $\frac{1}{1+e^w}$ in $w=0$ non ha una singolarità...per me singolarità è un punto in cui la funzione non è olomorfa ma esiste un intorno in cui lo è...non capisco perchè 0 dovrebbe essere una singolarità per la $f(w)$. Mi sono persa qualche pezzo e la $f(w)$ non è olomorfa in 0?
La definizione di singolarità eliminabile è che
$$\lim_{z\to z_0} f(z)=L$$
Secondo me ti sei persa la definizione.
$$\lim_{z\to z_0} f(z)=L$$
Secondo me ti sei persa la definizione.
Si ciampax, conosco la definizione..il problema è che io utilizzo questa definizione solo per lo studio delle $z_0$ singolarità al finito, non per lo studio di infinito...però forse vale anche per infinito evidentemente e io non lo sapevo...
quindi ritorna la domanda di prima..
ogni volta che devo studiare se infinito è una singolarità della $f(z)$, prima di considerare la $f(w)$ e studiare se $w=0$ è una singolarità, devo calcolare il limite della $f(z)$ per z che tende a infinito?
e quindi, limite finito = eliminabile, limite infinito=polo e limite del modulo che non esiste=essenziale? se poi non riesco a ricavare nessuna informazione passo al metodo che ho usato finora usando la trasformazione $z=1/w$?
quindi ritorna la domanda di prima..
ogni volta che devo studiare se infinito è una singolarità della $f(z)$, prima di considerare la $f(w)$ e studiare se $w=0$ è una singolarità, devo calcolare il limite della $f(z)$ per z che tende a infinito?
e quindi, limite finito = eliminabile, limite infinito=polo e limite del modulo che non esiste=essenziale? se poi non riesco a ricavare nessuna informazione passo al metodo che ho usato finora usando la trasformazione $z=1/w$?
Ovviamente, anche perché ti faccio presente che
$$\lim_{z\to\infty} f(z)=\lim_{w\to 0} f(1/w)$$
con la sostituzione $z=1/w$.
$$\lim_{z\to\infty} f(z)=\lim_{w\to 0} f(1/w)$$
con la sostituzione $z=1/w$.
okeeeii si questo mi sta bene....quindi, scusa se insisto, ma vorrei mettere tutti i tasselli a loro posto. Perchè la $f(1/w)$ ha una singolarità in 0? lo capisco se applico l'ultima uguaglianza che hai scritto, ma se guardo in faccia la funzione no.
Secondo me continui a farti confondere. Dire che una singolarità è "eliminabile" vuol dire che, in realtà, non c'è. Il senso è equivalente alla funzioni con le discontinuità eliminabili in analisi 1, quando la funzione non è definita in un punto ma esiste il limite (finito) in tale punto.
Qui il problema è che tu guardi la funzione dopo la "trasformazione" e, come osservi giustamente, affermi "questa funzione è fatta bene, di cosa mi preoccupo"? Il problema è che, però, la funzione è definita in modo diverso e quindi, a priori, devi analizzare ciò che le accade in tutti i punti di $CC$, compreso il punto all'infinito. A posteriori, dopo la trasformazione, osservi che la funzione non ha problemi.
Più chiaro adesso?
Giusto per farti un esempio che ha la stessa valenza: prendi la funzione in una variabile reale
$$f(x)=\frac{|x^2-2|-3}{x-1}$$
Ora, guardandola in questo modo e calcolando il dominio affermi "visto che la funzione non è definita in $x=1$ posso aspettarmi in tale punto un asintoto verticale".
Tuttavia, quando la vai a studiare, ti accorgi che per $x$ in un intorno di $1$ la funzione si scrive al modo seguente, essendo $x^2-2<0$
$$f(x)=\frac{-x^2+2-3}{x-1}=\frac{1-x^2}{x-1}=\frac{(1+x)(1-x)}{x-1}$$
e per $x\to 1$ i limite della funzione vale $-2$ (discontinuità eliminabile), Come vedi, a priori hai dato una certa condizione ma a posteriori ti sei resa conto che la cosa non vale. Esattamente come in questa situazione.
Qui il problema è che tu guardi la funzione dopo la "trasformazione" e, come osservi giustamente, affermi "questa funzione è fatta bene, di cosa mi preoccupo"? Il problema è che, però, la funzione è definita in modo diverso e quindi, a priori, devi analizzare ciò che le accade in tutti i punti di $CC$, compreso il punto all'infinito. A posteriori, dopo la trasformazione, osservi che la funzione non ha problemi.
Più chiaro adesso?
Giusto per farti un esempio che ha la stessa valenza: prendi la funzione in una variabile reale
$$f(x)=\frac{|x^2-2|-3}{x-1}$$
Ora, guardandola in questo modo e calcolando il dominio affermi "visto che la funzione non è definita in $x=1$ posso aspettarmi in tale punto un asintoto verticale".
Tuttavia, quando la vai a studiare, ti accorgi che per $x$ in un intorno di $1$ la funzione si scrive al modo seguente, essendo $x^2-2<0$
$$f(x)=\frac{-x^2+2-3}{x-1}=\frac{1-x^2}{x-1}=\frac{(1+x)(1-x)}{x-1}$$
e per $x\to 1$ i limite della funzione vale $-2$ (discontinuità eliminabile), Come vedi, a priori hai dato una certa condizione ma a posteriori ti sei resa conto che la cosa non vale. Esattamente come in questa situazione.
mmm ok adesso forse mi è più chiaro...grazie infinitO! 
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