Singolarita'
non riesco bene a capire le singolarita' del numeratore di una funzione..
il numeratore è questo: z*(e^z)
e il testo mi dice di considerare anche le singolarità all'infinito..
grazie mille!
il numeratore è questo: z*(e^z)
e il testo mi dice di considerare anche le singolarità all'infinito..
grazie mille!
Risposte
Scriviamo z come:
z = r * exp(it)
r è quindi il modulo di z e t è la fase di z.
Il tuo numeratore è quindi:
r*exp(it+z)
z lo puoi scrivere anche come z=r*cos(t)+i*r*sin(t). Sostituiamo nell'esponenziale:
r*exp(it+r*cos(t)+i*r*sin(t)) =
= r*exp(r*cos(t))*exp(i(t+r*sin(t)))
La parte in rosso è il modulo del numeratore. La parte in verde è la fase del numeratore.
Hai una singolarità all'infinito se il numeratore della frazione diverge (più velocemente del denominatore però) in qualche punto all'infinito.
Trascuriamo la fase tanto non contribuisce all'eventuale divergenza. Prendiamo il modulo del numeratore:
r*exp(r*cos(t))
Cosa succede se r-->+inf?
Se cos(t)>=0 allora diverge.
Se cos(t)<0 allora tende a 0.
Quindi nei punti all'infinito del semipiano Re(z)>=0 (nei quali cioè cos(t)>0) il numeratore diverge e si ha una singolarità all'infinito.
z = r * exp(it)
r è quindi il modulo di z e t è la fase di z.
Il tuo numeratore è quindi:
r*exp(it+z)
z lo puoi scrivere anche come z=r*cos(t)+i*r*sin(t). Sostituiamo nell'esponenziale:
r*exp(it+r*cos(t)+i*r*sin(t)) =
= r*exp(r*cos(t))*exp(i(t+r*sin(t)))
La parte in rosso è il modulo del numeratore. La parte in verde è la fase del numeratore.
Hai una singolarità all'infinito se il numeratore della frazione diverge (più velocemente del denominatore però) in qualche punto all'infinito.
Trascuriamo la fase tanto non contribuisce all'eventuale divergenza. Prendiamo il modulo del numeratore:
r*exp(r*cos(t))
Cosa succede se r-->+inf?
Se cos(t)>=0 allora diverge.
Se cos(t)<0 allora tende a 0.
Quindi nei punti all'infinito del semipiano Re(z)>=0 (nei quali cioè cos(t)>0) il numeratore diverge e si ha una singolarità all'infinito.
grazie! spero di poter essere utile a questo forum anch'io di tanto in tanto! 
Ogni auito è ben gradito! Se hai anche qualche bel problemino intrigante, postalo pure.
Per ora ti do il benvenuto!
Per ora ti do il benvenuto!
caro france
in base alla teoria di variabile complessa una qualsiasi funzione nell’intorno di un punto z=zo può essere sviluppata in serie di Laurent come…
f(z)= Sum [-00
La prima serie, composta dalle potenze negative di z-zo, è chiamata parte principale [non chiedermi perché…]. La seconda, composta dalle potenze positive di z-zo, è chiamata parte analitica. La funzione da te indicata [se l'ho intesa bene si capisce...] è facilmente sviluppabile in serie ed vale…
f(z)=1/(z*e^z)= e^(-z)/z= Sum [0<=n<+00] z^(n-1)/n! = 1/z + Sum [1<=n<+00] z^(n-1)/n! [2]
… ove sono messe il rilevo le due parti della funzione. I coefficienti delle potenze negative di z si annullano tutti tranne che per n=-1 per cui la funzione ha una unica singolarità in z=0. Il numero delle cosiddette singolarità all’infinito [una dizione che secondo me genera unicamente confusione…] è data dal massimo grado di n per il quale il coefficiente della parte analitica è non nullo, in questo caso infinito. Sperando di essere stato utile…
cordiali saluti!…
lupo grigio
in base alla teoria di variabile complessa una qualsiasi funzione nell’intorno di un punto z=zo può essere sviluppata in serie di Laurent come…
f(z)= Sum [-00
La prima serie, composta dalle potenze negative di z-zo, è chiamata parte principale [non chiedermi perché…]. La seconda, composta dalle potenze positive di z-zo, è chiamata parte analitica. La funzione da te indicata [se l'ho intesa bene si capisce...] è facilmente sviluppabile in serie ed vale…
f(z)=1/(z*e^z)= e^(-z)/z= Sum [0<=n<+00] z^(n-1)/n! = 1/z + Sum [1<=n<+00] z^(n-1)/n! [2]
… ove sono messe il rilevo le due parti della funzione. I coefficienti delle potenze negative di z si annullano tutti tranne che per n=-1 per cui la funzione ha una unica singolarità in z=0. Il numero delle cosiddette singolarità all’infinito [una dizione che secondo me genera unicamente confusione…] è data dal massimo grado di n per il quale il coefficiente della parte analitica è non nullo, in questo caso infinito. Sperando di essere stato utile…
cordiali saluti!…
lupo grigio
grazie mi hai risolto anche qualche altro problemuccio sulle serie di laurent
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