Singolarità

[hachiko2]

Data la funzione a variabile complessa

f(z)=(2-z*exp(-pi/4*z))/((z^2+4)*(1-exp(-pi/4*z)))

Bisogna ricavare i residui, si devono quindi cercare i punti di singolarità, e qui non capisco il risultato.
Perchè l'unica singolarità è in Zk=-j8k? Se z è complesso allora non ho una singolarità anche in z=+/- j(2)^0.5 o si semplifica in qualche modo con il numeratore?

Matane

[goblyn]

Il denominatore si annulla in effetti anche per z=+-i2.

Il numeratore è uguale a zero quando:

z*exp(-pi/4 z) = 2

Sostituiamo z=r*exp(it)

r*exp(it -pi/4*(r*cos(t)+i*r*sin(t)) = 2

r*exp(-pi/4 *r*cos(t)) * exp(i(t-pi/4 *r*sin(t)) = 2

Eguagliamo modulo e fase:

r*exp(-pi/4 *r*cos(t)) = 2
t-pi/4*r*sin(t) = 0+2n*pi

Prendiamo pure n=0, dalla seconda otteniamo:

t = pi/4 * r*sin(t)

Se r=2 e t=+-pi/2 (cioè in corrispondenza delle radici del denominatore) l'uguaglianza è soddisfatta. E lo è anche l'altra (quella sui moduli).
Quindi anche il numeratore si annulla in +-i2. Ecco da dove viene la semplificazione.