Sin x/x con serie di taylor
Ho "scoperto" recentemente Taylor e me ne sono "innamorato". Ho provato a dimostrare con esso il limite (famoso)
$(\sin x)/x=1$. Per far cio l'ho scomposto nel modo seguente
$(\sin x)/x = (1-x^3/(3!)+o)/x=x(1/x-x^2/(3!)+o)/x=1/x-x^2/(3!)+o$
MA Facendo tendere x a 0 trovo che il limite è...infinito! Come mai?
$(\sin x)/x=1$. Per far cio l'ho scomposto nel modo seguente
$(\sin x)/x = (1-x^3/(3!)+o)/x=x(1/x-x^2/(3!)+o)/x=1/x-x^2/(3!)+o$
MA Facendo tendere x a 0 trovo che il limite è...infinito! Come mai?
Risposte
\( \sin x = x - \frac{x^3}{3!}+o(x^3) \)
Usare la formula di Taylor per "dimostrare" i limiti notevoli è un classico esempio di argomento circolare.
Usare la formula di Taylor per "dimostrare" i limiti notevoli è un classico esempio di argomento circolare.
Che errore stupido! Grazie!
Ma cosa intendi per argomento di forma circolare?
Ma cosa intendi per argomento di forma circolare?
"newton_1372":
Ma cosa intendi per argomento di forma circolare?
Dimostrare il teorema di Pitagora applicando... il teorema di Pitagora.
p0erchè ho usato gia il fatto noto che sin x/x =1 per dimostrare sin x/x=1?
Sì.
Per poter usare la formula di Taylor devi poter derivare le funzioni (in questo caso $\sin x$).
Per calcolare la derivata di $\sin x$ devi conoscere il limite notevole \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\).
Per poter usare la formula di Taylor devi poter derivare le funzioni (in questo caso $\sin x$).
Per calcolare la derivata di $\sin x$ devi conoscere il limite notevole \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\).
Vabbè era solo un "gioco"...puoi pensare che sia un maniaco, ma mi piace un sacco dimostrare anche il prima con il dopo...
"Rigel":
Sì.
Per poter usare la formula di Taylor devi poter derivare le funzioni (in questo caso $\sin x$).
Per calcolare la derivata di $\sin x$ devi conoscere il limite notevole \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\).
Beh però dipende dalla definizione che uno adotta delle funzioni circolari. Se uno dice
Definizione
\[\sin(x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}.\]
allora il ragionamento di newton_1372 diventa corretto.
______________
Per inciso, la mia definizione preferita per le funzioni circolari è quella del libro di Prodi: \(\theta \mapsto \cos(\theta)+i\sin(\theta)\) è per definizione l'unico omomorfismo di gruppi di \(\mathbb{R}, +\) sulla circonferenza unitaria continuo e di periodo \(2\pi\).
[semi-OT]
Il limite notevole in questione, newton_1372, si dimostra semplicemente mediante il teorema del confronto.
[/semi-OT]
Il limite notevole in questione, newton_1372, si dimostra semplicemente mediante il teorema del confronto.
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Lo so lo so...ripeto, volevo solo giocare, mi piace che ci posso fare! Forse non passerò analisi!
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