Simpatico limite

[_prime_number]

Ciao!! Ho dei dubbi sulla mia risoluzione di questo limite...!!

per n-> +inf lim $n^a$ $((sqrt(n+1)) -(sqrt(n)))/((3sqrt(n +1)) - 3sqrt(n))$

[I due 3 a denominatore indicano radici cubiche!]

al variare di a $in$ R

Grazie!
Paola

[ficus2002]

$lim_{n\rightarrow +oo} n^a (sqrt(n+1) -sqrt(n))/(\root{3}{n+1} - \root{3}{n})$

$sqrt(n+1) -sqrt(n)=1/(sqrt(n+1)+sqrt(n)) approx 1/(2n^(1/2))$
Ricordando che $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$\root{3}{n+1} - \root{3}{n}=1/(root{3}{(n+1)^2}+\root{3}{n+1}\root{3}{n}+\root{3}{n^2})\approx 1/(3n^(2/3))$
quindi
$n^a (sqrt(n+1) -sqrt(n))/(\root{3}{n+1} - \root{3}{n}) \approx 3/2 n^(a+2/3-1/2)=3/2 n^(a+1/6)$

Quindi per $a<1/6$ il limite vale $0$, per $a=1/6$ il limite vale $3/2$ e per $a>1/6$ vale $+oo$.

EDIT:corretto, grazie fireball.

[fireball1]

Forse intendevi dire "per $a=...$"

[ficus2002]

si hai ragione scusate

[_prime_number]

Evviva! L'ho risolto correttamente allora! Grazie per avermene dato la certezza! Era carino, vero? Anche se ho conosciuto limiti più intriganti

Ciao!!

Paola