Simbolo di barra verticale per funzione valutata in un punto
Mi chiedevo perchè a volte si usa il simbolo di una barra verticale per indicare una funzione valutata in un punto, ad esempio $f(x+y)|_{y=3}$. Non è la stessa cosa di scrivere $f(x+3)$?
Ci sono dei casi in cui la notazione con la barra è strettamente necessaria?
Ci sono dei casi in cui la notazione con la barra è strettamente necessaria?
Risposte
Ciao thedarkhero,
Beh, nulla è necessario, tranne la morte...
Direi che sulle funzioni l'ho vista raramente, più che altro sulle derivate, con notazioni abbastanza comode del tipo seguente:
$ (\text{d}f)/(\text{d}x)|_{x = x_0} $
"thedarkhero":
Ci sono dei casi in cui la notazione con la barra è strettamente necessaria?
Beh, nulla è necessario, tranne la morte...
Direi che sulle funzioni l'ho vista raramente, più che altro sulle derivate, con notazioni abbastanza comode del tipo seguente:
$ (\text{d}f)/(\text{d}x)|_{x = x_0} $
Ciao thedarkhero, ciao pilloeffe.
Be', penso che la barra verticale serva a sottolineare che si parla di una funzione in più variabili ristretta alla retta $x=3$, e non della funzione in una sola variabile $f(x+3)$, (anche se poi i valori che assumono sono uguali).
E' concettualmente diverso, come quando si definiscono le derivate parziali e si fissano tutte le variabili tranne una.
La derivata parziale è sempre la derivata di una funzione in una sola variabile, ma si usa una notazione differente di derivata rispetto alle derivate di funzioni in una sola variabile (ad esempio $partial$ invece di $d$) per indicare che si tratta della restrizione di una funzione di più variabili.
Be', penso che la barra verticale serva a sottolineare che si parla di una funzione in più variabili ristretta alla retta $x=3$, e non della funzione in una sola variabile $f(x+3)$, (anche se poi i valori che assumono sono uguali).
E' concettualmente diverso, come quando si definiscono le derivate parziali e si fissano tutte le variabili tranne una.
La derivata parziale è sempre la derivata di una funzione in una sola variabile, ma si usa una notazione differente di derivata rispetto alle derivate di funzioni in una sola variabile (ad esempio $partial$ invece di $d$) per indicare che si tratta della restrizione di una funzione di più variabili.
Riporto un esempio che ho sotto mano, estrapolato dalla dimostrazione del principio variazionale di Hamilton.
Fissiamo $t_0,t_1\inRR$ e $x_0,x_1\inRR^n$.
Definiamo $\Gamma_{x_0,x_1}^{t_0,t_1}=\{x\inC^2([t_0,t_1],RR^n)| x(t_0)=x_0, x(t_1)=x_1\}$, si tratta di un insieme di curve.
Data una lagrangiana $L(t,x,v)$ si definisce il funzionale di Hamilton $J:\Gamma_{x_0,x_1}^{t_0,t_1}->RR$ ponendo $J[x(*)]=\int_{t_0}^{t_1}L(t,x(t),\dotx(t))dt$.
Date due curve $x\in\Gamma_{x_0,x_1}^{t_0,t_1}$ e $h\in\Gamma_{0,0}^{t_0,t_1}$ si vuole calcolare $\frac{d}{ds}J[x(*)+sh(*)]|_{s=0}$, dove $s\inRR$.
Si ha che $\frac{d}{ds}J[x(*)+sh(*)] |_{s=0} =$
$\frac{d}{ds}\int_{t_0}^{t_1}L(t,x(t)+sh(t),\dotx(t)+s\doth(t))dt|_{s=0} =$
$\int_{t_0}^{t_1}\frac{d}{ds}L(t,x(t)+sh(t),\dotx(t)+s\doth(t))dt|_{s=0} =$
$\int_{t_0}^{t_1}(\sum_{i=1}^n \frac{\partialL}{\partialx_i}(t,x(t)+sh(t),\dotx(t)+s\doth(t))h_i(t)+\sum_{i=1}^n \frac{\partialL}{\partialv_i}(t,x(t)+sh(t),\dotx(t)+s\doth(t))\doth_i(t))dt|_{s=0}$.
Ora mi chiedevo...non potrei valutare l'ultima espressione in $s=0$ in modo da riscriverla più semplicemente come $\int_{t_0}^{t_1}(\sum_{i=1}^n \frac{\partialL}{\partialx_i}(t,x(t),\dotx(t))h_i(t)+\sum_{i=1}^n \frac{\partialL}{\partialv_i}(t,x(t),\dotx(t))\doth_i(t))dt$ ?
Fissiamo $t_0,t_1\inRR$ e $x_0,x_1\inRR^n$.
Definiamo $\Gamma_{x_0,x_1}^{t_0,t_1}=\{x\inC^2([t_0,t_1],RR^n)| x(t_0)=x_0, x(t_1)=x_1\}$, si tratta di un insieme di curve.
Data una lagrangiana $L(t,x,v)$ si definisce il funzionale di Hamilton $J:\Gamma_{x_0,x_1}^{t_0,t_1}->RR$ ponendo $J[x(*)]=\int_{t_0}^{t_1}L(t,x(t),\dotx(t))dt$.
Date due curve $x\in\Gamma_{x_0,x_1}^{t_0,t_1}$ e $h\in\Gamma_{0,0}^{t_0,t_1}$ si vuole calcolare $\frac{d}{ds}J[x(*)+sh(*)]|_{s=0}$, dove $s\inRR$.
Si ha che $\frac{d}{ds}J[x(*)+sh(*)] |_{s=0} =$
$\frac{d}{ds}\int_{t_0}^{t_1}L(t,x(t)+sh(t),\dotx(t)+s\doth(t))dt|_{s=0} =$
$\int_{t_0}^{t_1}\frac{d}{ds}L(t,x(t)+sh(t),\dotx(t)+s\doth(t))dt|_{s=0} =$
$\int_{t_0}^{t_1}(\sum_{i=1}^n \frac{\partialL}{\partialx_i}(t,x(t)+sh(t),\dotx(t)+s\doth(t))h_i(t)+\sum_{i=1}^n \frac{\partialL}{\partialv_i}(t,x(t)+sh(t),\dotx(t)+s\doth(t))\doth_i(t))dt|_{s=0}$.
Ora mi chiedevo...non potrei valutare l'ultima espressione in $s=0$ in modo da riscriverla più semplicemente come $\int_{t_0}^{t_1}(\sum_{i=1}^n \frac{\partialL}{\partialx_i}(t,x(t),\dotx(t))h_i(t)+\sum_{i=1}^n \frac{\partialL}{\partialv_i}(t,x(t),\dotx(t))\doth_i(t))dt$ ?
Certo, nell’ultima riga puoi fare sparire quella barra verticale, ma nelle righe precedenti no.
Certo, perchè prima avevo una derivazione rispetto a $s$.
Grazie delle vostre risposte e della conferma!
Grazie delle vostre risposte e della conferma!
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